Номер 41.34, страница 241, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

41.34. a) $y = x^3 + 2x, x_0 = 2;$

В) $y = \frac{1}{x} \left(\frac{4}{x} - 2\right), x_0 = -0,5;$

б) $y = (\sqrt{x} + 1)\sqrt{x}, x_0 = 1;$

Г) $y = 2 \sin x - 4x, x_0 = \frac{\pi}{4}.$

а) Дана функция $y = x^3 + 2x$ и точка $x_0 = 2$.
Чтобы найти значение производной в точке, сначала необходимо найти саму производную функции. Используем правила дифференцирования: $(x^n)' = nx^{n-1}$ и $(c \cdot f(x))' = c \cdot f'(x)$.
$y' = (x^3 + 2x)' = (x^3)' + (2x)' = 3x^{3-1} + 2x^{1-1} = 3x^2 + 2$.
Теперь подставим значение $x_0 = 2$ в найденное выражение для производной:
$y'(2) = 3(2)^2 + 2 = 3 \cdot 4 + 2 = 12 + 2 = 14$.
Ответ: 14.

б) Дана функция $y = (\sqrt{x} + 1)\sqrt{x}$ и точка $x_0 = 1$.
Для удобства сначала упростим выражение функции, раскрыв скобки:
$y = \sqrt{x} \cdot \sqrt{x} + 1 \cdot \sqrt{x} = x + \sqrt{x}$.
Представим функцию в виде $y = x + x^{1/2}$ и найдем ее производную:
$y' = (x + x^{1/2})' = (x)' + (x^{1/2})' = 1 + \frac{1}{2}x^{1/2 - 1} = 1 + \frac{1}{2}x^{-1/2} = 1 + \frac{1}{2\sqrt{x}}$.
Вычислим значение производной в точке $x_0 = 1$:
$y'(1) = 1 + \frac{1}{2\sqrt{1}} = 1 + \frac{1}{2} = 1,5$.
Ответ: 1,5.

в) Дана функция $y = \frac{1}{x}(\frac{4}{x} - 2)$ и точка $x_0 = -0,5$.
Сначала упростим выражение для функции:
$y = \frac{1}{x} \cdot \frac{4}{x} - \frac{1}{x} \cdot 2 = \frac{4}{x^2} - \frac{2}{x}$.
Представим функцию в виде $y = 4x^{-2} - 2x^{-1}$ и найдем ее производную:
$y' = (4x^{-2} - 2x^{-1})' = 4 \cdot (-2)x^{-2-1} - 2 \cdot (-1)x^{-1-1} = -8x^{-3} + 2x^{-2} = -\frac{8}{x^3} + \frac{2}{x^2}$.
Подставим значение $x_0 = -0,5$ (или $-\frac{1}{2}$) в выражение для производной:
$y'(-0,5) = -\frac{8}{(-0,5)^3} + \frac{2}{(-0,5)^2} = -\frac{8}{-0,125} + \frac{2}{0,25}$.
$y'(-0,5) = \frac{8}{1/8} + \frac{2}{1/4} = 8 \cdot 8 + 2 \cdot 4 = 64 + 8 = 72$.
Ответ: 72.

г) Дана функция $y = 2\sin x - 4x$ и точка $x_0 = \frac{\pi}{4}$.
Найдем производную функции. Используем правила: $(\sin x)' = \cos x$ и $(cx)' = c$.
$y' = (2\sin x - 4x)' = 2(\sin x)' - (4x)' = 2\cos x - 4$.
Вычислим значение производной в точке $x_0 = \frac{\pi}{4}$:
$y'(\frac{\pi}{4}) = 2\cos(\frac{\pi}{4}) - 4$.
Мы знаем, что значение косинуса в этой точке $\cos(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$. Подставим его в выражение:
$y'(\frac{\pi}{4}) = 2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - 4 = \sqrt{2} - 4$.
Ответ: $\sqrt{2} - 4$.