Номер 41.40, страница 242, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

41.40. а) $f(x) = \sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2}, k = -\frac{\sqrt{2}}{4};$

б) $f(x) = \cos^2 \frac{x}{2}, k = \frac{1}{2}. $

а)

Требуется решить уравнение $f(x) = k$ при $f(x) = \sin\frac{x}{2}\cos\frac{x}{2}$ и $k = -\frac{\sqrt{2}}{4}$.
Запишем уравнение, подставив данные значения:
$\sin\frac{x}{2}\cos\frac{x}{2} = -\frac{\sqrt{2}}{4}$
Для упрощения левой части уравнения воспользуемся формулой синуса двойного угла: $\sin(2\alpha) = 2\sin\alpha\cos\alpha$. Из этой формулы следует, что $\sin\alpha\cos\alpha = \frac{1}{2}\sin(2\alpha)$.
В нашем случае $\alpha = \frac{x}{2}$, поэтому $2\alpha = x$. Применим формулу:
$\sin\frac{x}{2}\cos\frac{x}{2} = \frac{1}{2}\sin x$
Теперь подставим это упрощенное выражение обратно в исходное уравнение:
$\frac{1}{2}\sin x = -\frac{\sqrt{2}}{4}$
Умножим обе части уравнения на 2, чтобы выразить $\sin x$:
$\sin x = 2 \cdot \left(-\frac{\sqrt{2}}{4}\right)$
$\sin x = -\frac{2\sqrt{2}}{4}$
$\sin x = -\frac{\sqrt{2}}{2}$
Получили стандартное тригонометрическое уравнение. Общее решение для уравнения вида $\sin x = a$ записывается как $x = (-1)^n \arcsin(a) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Для нашего случая $a = -\frac{\sqrt{2}}{2}$, а арксинус этого значения равен $\arcsin\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = -\frac{\pi}{4}$.
Подставляем это значение в общую формулу решения:
$x = (-1)^n \left(-\frac{\pi}{4}\right) + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$
Это выражение можно упростить, внеся знак минус в множитель $(-1)^n$:
$x = (-1)^{n+1} \frac{\pi}{4} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$

Ответ: $x = (-1)^{n+1} \frac{\pi}{4} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$.

б)

Требуется решить уравнение $f(x) = k$ при $f(x) = \cos^2\frac{x}{2}$ и $k = \frac{1}{2}$.
Запишем уравнение, подставив данные значения:
$\cos^2\frac{x}{2} = \frac{1}{2}$
Для упрощения левой части воспользуемся формулой понижения степени для косинуса: $\cos^2\alpha = \frac{1 + \cos(2\alpha)}{2}$.
В нашем случае $\alpha = \frac{x}{2}$, следовательно, $2\alpha = x$. Применяем формулу:
$\cos^2\frac{x}{2} = \frac{1 + \cos x}{2}$
Подставим это выражение в исходное уравнение:
$\frac{1 + \cos x}{2} = \frac{1}{2}$
Умножим обе части уравнения на 2:
$1 + \cos x = 1$
Вычтем 1 из обеих частей уравнения:
$\cos x = 0$
Это частный случай простейшего тригонометрического уравнения. Его решениями являются все углы, косинус которых равен нулю.
Это точки на единичной окружности, соответствующие $\frac{\pi}{2}$ и $-\frac{\pi}{2}$, которые повторяются с периодом $\pi$.
Общее решение для уравнения $\cos x = 0$ имеет вид:
$x = \frac{\pi}{2} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$

Ответ: $x = \frac{\pi}{2} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$.