Номер 41.46, страница 243, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

41.46. Определите абсциссы точек, в которых касательная к графику функции $y = \varphi(x)$ образует тупой угол с положительным направлением оси x, если:

а) $\varphi(x) = \sin x + 3$;

б) $\varphi(x) = 0,2x^5 - 3\frac{1}{3}x^3 + 9x$;

в) $\varphi(x) = \operatorname{ctg} x + 9x$;

г) $\varphi(x) = x^4 - \frac{1}{3}x^3 + 21$.

Касательная к графику функции $y = \phi(x)$ образует тупой угол с положительным направлением оси $x$, если ее угловой коэффициент отрицателен. Угловой коэффициент касательной в точке с абсциссой $x_0$ равен значению производной $k = \phi'(x_0)$. Тупой угол $\alpha$ находится в диапазоне $90^\circ < \alpha < 180^\circ$, для которого $\tan(\alpha) < 0$. Следовательно, для решения задачи необходимо найти значения $x$, для которых производная функции отрицательна, то есть $\phi'(x) < 0$.

а) Дана функция $\phi(x) = \sin x + 3$.
1. Находим производную функции:
$\phi'(x) = (\sin x + 3)' = \cos x$.
2. Решаем неравенство $\phi'(x) < 0$:
$\cos x < 0$.
Функция косинуса принимает отрицательные значения во II и III координатных четвертях. Общее решение этого неравенства:
$\frac{\pi}{2} + 2\pi k < x < \frac{3\pi}{2} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x \in (\frac{\pi}{2} + 2\pi k, \frac{3\pi}{2} + 2\pi k)$, $k \in \mathbb{Z}$.

б) Дана функция $\phi(x) = 0,2x^5 - 3\frac{1}{3}x^3 + 9x$.
1. Представим коэффициенты в виде обыкновенных дробей: $\phi(x) = \frac{1}{5}x^5 - \frac{10}{3}x^3 + 9x$.
2. Находим производную функции:
$\phi'(x) = (\frac{1}{5}x^5 - \frac{10}{3}x^3 + 9x)' = 5 \cdot \frac{1}{5}x^4 - 3 \cdot \frac{10}{3}x^2 + 9 = x^4 - 10x^2 + 9$.
3. Решаем неравенство $\phi'(x) < 0$:
$x^4 - 10x^2 + 9 < 0$.
Это биквадратное неравенство. Пусть $t = x^2$ (при этом $t \ge 0$). Неравенство принимает вид:
$t^2 - 10t + 9 < 0$.
Корни квадратного трехчлена $t^2 - 10t + 9$ равны $t_1 = 1$ и $t_2 = 9$. Решением неравенства является интервал $(1, 9)$, то есть $1 < t < 9$.
4. Возвращаемся к переменной $x$:
$1 < x^2 < 9$.
Это двойное неравенство эквивалентно системе $\begin{cases} x^2 > 1 \\ x^2 < 9 \end{cases}$, что равносильно $\begin{cases} |x| > 1 \\ |x| < 3 \end{cases}$.
Решением является пересечение множеств $(-\infty, -1) \cup (1, \infty)$ и $(-3, 3)$, что дает $x \in (-3, -1) \cup (1, 3)$.
Ответ: $x \in (-3, -1) \cup (1, 3)$.

в) Дана функция $\phi(x) = \operatorname{ctg} x + 9x$.
1. Область определения функции: $x \neq \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
2. Находим производную функции:
$\phi'(x) = (\operatorname{ctg} x + 9x)' = -\frac{1}{\sin^2 x} + 9$.
3. Решаем неравенство $\phi'(x) < 0$ с учетом области определения:
$9 - \frac{1}{\sin^2 x} < 0 \implies 9 < \frac{1}{\sin^2 x}$.
Поскольку на области определения $\sin^2 x > 0$, можно умножить обе части неравенства на $\sin^2 x$:
$9 \sin^2 x < 1 \implies \sin^2 x < \frac{1}{9}$.
Это равносильно $|\sin x| < \frac{1}{3}$, или $-\frac{1}{3} < \sin x < \frac{1}{3}$.
Решением этого неравенства являются интервалы $(\pi k - \arcsin(\frac{1}{3}), \pi k + \arcsin(\frac{1}{3}))$, $k \in \mathbb{Z}$.
4. Необходимо исключить из решения точки $x = \pi k$, в которых исходная функция не определена. Эти точки находятся в середине каждого из найденных интервалов, поэтому каждый интервал разбивается на два.
Ответ: $x \in (\pi k - \arcsin(\frac{1}{3}), \pi k) \cup (\pi k, \pi k + \arcsin(\frac{1}{3}))$, $k \in \mathbb{Z}$.

г) Дана функция $\phi(x) = x^4 - \frac{1}{3}x^3 + 21$.
1. Находим производную функции:
$\phi'(x) = (x^4 - \frac{1}{3}x^3 + 21)' = 4x^3 - x^2$.
2. Решаем неравенство $\phi'(x) < 0$:
$4x^3 - x^2 < 0$.
Выносим общий множитель $x^2$ за скобки:
$x^2(4x - 1) < 0$.
Поскольку $x^2 \ge 0$ при всех действительных $x$, данное неравенство выполняется, когда множители имеют разные знаки. Так как $x^2$ не может быть отрицательным, оно должно быть положительным, а второй множитель — отрицательным. Это эквивалентно системе:
$\begin{cases} x^2 > 0 \\ 4x - 1 < 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x \neq 0 \\ 4x < 1 \end{cases} \implies \begin{cases} x \neq 0 \\ x < \frac{1}{4} \end{cases}$.
Решением является объединение интервалов $(-\infty, 0) \cup (0, \frac{1}{4})$.
Ответ: $x \in (-\infty, 0) \cup (0, \frac{1}{4})$.