Номер 41.48, страница 243, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

41.48. а) При каких значениях $x$ выполняется равенство $f'(x) = 2$, если известно, что $f(x) = 2\sqrt{x} - 5x + 3$?

б) При каких значениях $x$ выполняется равенство $f'(x) = 1$, если известно, что $f(x) = 3x - \sqrt{x} + 13$?

а) Чтобы найти значения $x$, при которых выполняется равенство $f'(x) = 2$ для функции $f(x) = 2\sqrt{x} - 5x + 3$, сначала необходимо найти производную этой функции.

Область определения функции $f(x)$ — это $x \ge 0$.

Используем правила дифференцирования. Напомним, что производная от $\sqrt{x}$ равна $\frac{1}{2\sqrt{x}}$.

$f'(x) = (2\sqrt{x} - 5x + 3)' = 2 \cdot (\sqrt{x})' - (5x)' + (3)' = 2 \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}} - 5 + 0 = \frac{1}{\sqrt{x}} - 5$.

Область определения производной $f'(x)$ — это $x > 0$.

Теперь приравняем производную к 2 и решим полученное уравнение:

$\frac{1}{\sqrt{x}} - 5 = 2$

$\frac{1}{\sqrt{x}} = 7$

$\sqrt{x} = \frac{1}{7}$

Чтобы найти $x$, возведем обе части уравнения в квадрат:

$x = (\frac{1}{7})^2 = \frac{1}{49}$

Значение $x = \frac{1}{49}$ входит в область определения производной ($x>0$).

Ответ: $x = \frac{1}{49}$.

б) Чтобы найти значения $x$, при которых выполняется равенство $f'(x) = 1$ для функции $f(x) = 3x - \sqrt{x} + 13$, сначала найдем производную.

Область определения функции $f(x)$ — это $x \ge 0$.

Находим производную $f'(x)$:

$f'(x) = (3x - \sqrt{x} + 13)' = (3x)' - (\sqrt{x})' + (13)' = 3 - \frac{1}{2\sqrt{x}} + 0 = 3 - \frac{1}{2\sqrt{x}}$.

Область определения производной $f'(x)$ — это $x > 0$.

Приравняем производную к 1 и решим уравнение:

$3 - \frac{1}{2\sqrt{x}} = 1$

$2 = \frac{1}{2\sqrt{x}}$

$4\sqrt{x} = 1$

$\sqrt{x} = \frac{1}{4}$

Возведем обе части в квадрат, чтобы найти $x$:

$x = (\frac{1}{4})^2 = \frac{1}{16}$

Значение $x = \frac{1}{16}$ входит в область определения производной ($x>0$).

Ответ: $x = \frac{1}{16}$.