Номер 41.41, страница 242, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

Найдите тангенс угла между касательной к графику функции $y = f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$ и положительным направлением оси $x$:

41.41. а) $f(x) = x^6 - 4x, x_0 = 1;$

б) $f(x) = \sqrt{x} - 3, x_0 = \frac{1}{4};$

в) $f(x) = -x^5 - 2x^2 + 2, x_0 = -1;$

г) $f(x) = \frac{25}{x} + 2, x_0 = \frac{5}{4}.$

Тангенс угла, образованного касательной к графику функции $y=f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$ и положительным направлением оси $x$, равен значению производной функции в этой точке, то есть $\tan(\alpha) = f'(x_0)$.

а) Дана функция $f(x) = x^6 - 4x$ и точка $x_0 = 1$.
Сначала найдем производную функции:
$f'(x) = (x^6 - 4x)' = (x^6)' - (4x)' = 6x^5 - 4$.
Теперь вычислим значение производной в точке $x_0 = 1$:
$f'(1) = 6 \cdot (1)^5 - 4 = 6 \cdot 1 - 4 = 2$.
Следовательно, тангенс искомого угла равен 2.
Ответ: 2.

б) Дана функция $f(x) = \sqrt{x} - 3$ и точка $x_0 = \frac{1}{4}$.
Найдем производную функции, представив корень как степень: $f(x) = x^{1/2} - 3$.
$f'(x) = (x^{1/2} - 3)' = (x^{1/2})' - (3)' = \frac{1}{2}x^{1/2 - 1} - 0 = \frac{1}{2}x^{-1/2} = \frac{1}{2\sqrt{x}}$.
Вычислим значение производной в точке $x_0 = \frac{1}{4}$:
$f'(\frac{1}{4}) = \frac{1}{2\sqrt{\frac{1}{4}}} = \frac{1}{2 \cdot \frac{1}{2}} = \frac{1}{1} = 1$.
Следовательно, тангенс искомого угла равен 1.
Ответ: 1.

в) Дана функция $f(x) = -x^5 - 2x^2 + 2$ и точка $x_0 = -1$.
Найдем производную функции:
$f'(x) = (-x^5 - 2x^2 + 2)' = (-x^5)' - (2x^2)' + (2)' = -5x^4 - 4x$.
Вычислим значение производной в точке $x_0 = -1$:
$f'(-1) = -5(-1)^4 - 4(-1) = -5 \cdot 1 + 4 = -5 + 4 = -1$.
Следовательно, тангенс искомого угла равен -1.
Ответ: -1.

г) Дана функция $f(x) = \frac{25}{x} + 2$ и точка $x_0 = \frac{5}{4}$.
Найдем производную функции, представив дробь как степень: $f(x) = 25x^{-1} + 2$.
$f'(x) = (25x^{-1} + 2)' = (25x^{-1})' + (2)' = 25 \cdot (-1)x^{-1-1} + 0 = -25x^{-2} = -\frac{25}{x^2}$.
Вычислим значение производной в точке $x_0 = \frac{5}{4}$:
$f'(\frac{5}{4}) = -\frac{25}{(\frac{5}{4})^2} = -\frac{25}{\frac{25}{16}} = -25 \cdot \frac{16}{25} = -16$.
Следовательно, тангенс искомого угла равен -16.
Ответ: -16.