Номер 41.42, страница 242, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

41.42. а) $f(x) = 10 - \cos x, x_0 = \frac{3\pi}{2}$;

б) $f(x) = 2 \operatorname{tg} x, x_0 = \frac{\pi}{4}$;

в) $f(x) = 4 - \sin x, x_0 = 6\pi$;

г) $f(x) = -4 \operatorname{ctg} x, x_0 = -\frac{\pi}{4}$.

а) Для функции $f(x) = 10 - \cos x$ необходимо найти значение производной в точке $x_0 = \frac{3\pi}{2}$.
Сначала найдем производную функции $f(x)$. Используя правила дифференцирования, получаем:
$f'(x) = (10 - \cos x)' = (10)' - (\cos x)' = 0 - (-\sin x) = \sin x$.
Теперь подставим значение $x_0$ в найденную производную:
$f'(\frac{3\pi}{2}) = \sin(\frac{3\pi}{2})$.
Значение синуса в этой точке равно -1.
$f'(\frac{3\pi}{2}) = -1$.
Ответ: -1

б) Для функции $f(x) = 2 \operatorname{tg} x$ необходимо найти значение производной в точке $x_0 = \frac{\pi}{4}$.
Найдем производную функции $f(x)$:
$f'(x) = (2 \operatorname{tg} x)' = 2 \cdot (\operatorname{tg} x)' = 2 \cdot \frac{1}{\cos^2 x} = \frac{2}{\cos^2 x}$.
Подставим значение $x_0$ в производную:
$f'(\frac{\pi}{4}) = \frac{2}{\cos^2(\frac{\pi}{4})}$.
Мы знаем, что $\cos(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$, тогда $\cos^2(\frac{\pi}{4}) = (\frac{\sqrt{2}}{2})^2 = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$.
Следовательно, $f'(\frac{\pi}{4}) = \frac{2}{1/2} = 4$.
Ответ: 4

в) Для функции $f(x) = 4 - \sin x$ необходимо найти значение производной в точке $x_0 = 6\pi$.
Найдем производную функции $f(x)$:
$f'(x) = (4 - \sin x)' = (4)' - (\sin x)' = 0 - \cos x = -\cos x$.
Подставим значение $x_0$ в производную:
$f'(6\pi) = -\cos(6\pi)$.
Так как период функции косинус равен $2\pi$, то $\cos(6\pi) = \cos(0) = 1$.
Следовательно, $f'(6\pi) = -1$.
Ответ: -1

г) Для функции $f(x) = -4 \operatorname{ctg} x$ необходимо найти значение производной в точке $x_0 = -\frac{\pi}{4}$.
Найдем производную функции $f(x)$:
$f'(x) = (-4 \operatorname{ctg} x)' = -4 \cdot (\operatorname{ctg} x)' = -4 \cdot (-\frac{1}{\sin^2 x}) = \frac{4}{\sin^2 x}$.
Подставим значение $x_0$ в производную:
$f'(-\frac{\pi}{4}) = \frac{4}{\sin^2(-\frac{\pi}{4})}$.
Мы знаем, что синус - нечетная функция, поэтому $\sin(-\frac{\pi}{4}) = -\sin(\frac{\pi}{4}) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$.
Тогда $\sin^2(-\frac{\pi}{4}) = (-\frac{\sqrt{2}}{2})^2 = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$.
Следовательно, $f'(-\frac{\pi}{4}) = \frac{4}{1/2} = 8$.
Ответ: 8