Номер 41.49, страница 243, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

Решите неравенство $f'(x) < 0$:

41.49. a) $f(x) = x^3 - x^4$;

б) $f(x) = \frac{1}{5}x^5 - \frac{5}{3}x^3 + 6x$.

а) Дана функция $f(x) = x^3 - x^4$.

Чтобы решить неравенство $f'(x) < 0$, сначала найдем производную функции $f(x)$.

Используя правило дифференцирования степенной функции $(x^n)' = nx^{n-1}$, получаем:

$f'(x) = (x^3 - x^4)' = (x^3)' - (x^4)' = 3x^2 - 4x^3$.

Теперь решим неравенство $f'(x) < 0$:

$3x^2 - 4x^3 < 0$.

Вынесем общий множитель $x^2$ за скобки:

$x^2(3 - 4x) < 0$.

Выражение $x^2$ всегда неотрицательно, то есть $x^2 \ge 0$ при любом действительном $x$. Чтобы произведение было строго отрицательным, необходимо, чтобы $x^2$ было строго положительным, а второй множитель $(3 - 4x)$ был отрицательным.

1. $x^2 > 0$, что выполняется при $x \neq 0$.

2. $3 - 4x < 0$.

Решим второе неравенство:

$3 < 4x$

$x > \frac{3}{4}$.

Объединим оба условия: $x \neq 0$ и $x > \frac{3}{4}$. Интервал $x > \frac{3}{4}$ не содержит точку $x=0$, поэтому условие $x \neq 0$ выполняется автоматически.

Таким образом, решение неравенства — это $x > \frac{3}{4}$.

Ответ: $x \in (\frac{3}{4}; +\infty)$.

б) Дана функция $f(x) = \frac{1}{5}x^5 - \frac{5}{3}x^3 + 6x$.

Сначала найдем производную функции $f(x)$:

$f'(x) = (\frac{1}{5}x^5 - \frac{5}{3}x^3 + 6x)' = \frac{1}{5}(5x^4) - \frac{5}{3}(3x^2) + 6 = x^4 - 5x^2 + 6$.

Теперь решим неравенство $f'(x) < 0$:

$x^4 - 5x^2 + 6 < 0$.

Это биквадратное неравенство. Сделаем замену переменной: пусть $t = x^2$. Поскольку $x^2 \ge 0$, то и $t \ge 0$.

Неравенство принимает вид:

$t^2 - 5t + 6 < 0$.

Чтобы решить это квадратное неравенство, найдем корни уравнения $t^2 - 5t + 6 = 0$. По теореме Виета, сумма корней равна 5, а произведение равно 6. Следовательно, корни $t_1 = 2$ и $t_2 = 3$.

Графиком функции $y(t) = t^2 - 5t + 6$ является парабола с ветвями вверх. Значения функции отрицательны между корнями.

Таким образом, решение для $t$ есть $2 < t < 3$.

Оба значения (2 и 3) удовлетворяют условию $t \ge 0$. Вернемся к исходной переменной $x$, подставив $t = x^2$:

$2 < x^2 < 3$.

Это двойное неравенство эквивалентно системе из двух неравенств:

$\begin{cases} x^2 > 2 \\ x^2 < 3 \end{cases}$

Решим первое неравенство: $x^2 > 2 \implies x^2 - 2 > 0 \implies (x - \sqrt{2})(x + \sqrt{2}) > 0$. Решением является объединение интервалов $x \in (-\infty; -\sqrt{2}) \cup (\sqrt{2}; +\infty)$.

Решим второе неравенство: $x^2 < 3 \implies x^2 - 3 < 0 \implies (x - \sqrt{3})(x + \sqrt{3}) < 0$. Решением является интервал $x \in (-\sqrt{3}; \sqrt{3})$.

Теперь найдем пересечение полученных решений: $(-\infty; -\sqrt{2}) \cup (\sqrt{2}; +\infty)$ и $(-\sqrt{3}; \sqrt{3})$.

Пересечение дает два интервала: $(-\sqrt{3}; -\sqrt{2})$ и $(\sqrt{2}; \sqrt{3})$.

Ответ: $x \in (-\sqrt{3}; -\sqrt{2}) \cup (\sqrt{2}; \sqrt{3})$.