Номер 41.56, страница 244, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

41.56. Найдите значения аргумента, удовлетворяющие условию

$f'(x) = g'(x)$, если:

a) $f(x) = \frac{6}{5x - 9}$, $g(x) = \frac{3}{7 - 5x}$;

б) $f(x) = ctg x$, $g(x) = 2x + 15$.

а)

Даны функции $f(x) = \frac{6}{5x - 9}$ и $g(x) = \frac{3}{7 - 5x}$. Требуется найти значения аргумента $x$, для которых выполняется условие $f'(x) = g'(x)$.

Сначала найдем производные данных функций. Для нахождения производных воспользуемся формулой производной частного, в частном случае для функции вида $y = \frac{k}{u(x)}$ ее производная равна $y' = -\frac{k \cdot u'(x)}{[u(x)]^2}$.

Производная функции $f(x)$: $f'(x) = \left(\frac{6}{5x - 9}\right)' = -\frac{6 \cdot (5x - 9)'}{(5x - 9)^2} = -\frac{6 \cdot 5}{(5x - 9)^2} = -\frac{30}{(5x - 9)^2}$.

Производная функции $g(x)$: $g'(x) = \left(\frac{3}{7 - 5x}\right)' = -\frac{3 \cdot (7 - 5x)'}{(7 - 5x)^2} = -\frac{3 \cdot (-5)}{(7 - 5x)^2} = \frac{15}{(7 - 5x)^2}$.

Теперь приравняем найденные производные, чтобы решить уравнение $f'(x) = g'(x)$: $-\frac{30}{(5x - 9)^2} = \frac{15}{(7 - 5x)^2}$.

Заметим, что знаменатели $(5x - 9)^2$ и $(7 - 5x)^2$ всегда неотрицательны. Они не могут быть равны нулю, так как это нарушает область определения исходных функций ($x \neq \frac{9}{5}$ и $x \neq \frac{7}{5}$). Следовательно, левая часть уравнения, $-\frac{30}{(5x - 9)^2}$, всегда является строго отрицательным числом. Правая часть уравнения, $\frac{15}{(7 - 5x)^2}$, всегда является строго положительным числом.

Поскольку отрицательное число не может быть равно положительному, данное уравнение не имеет решений.

Ответ: таких значений аргумента не существует.

б)

Даны функции $f(x) = \operatorname{ctg} x$ и $g(x) = 2x + 15$. Требуется найти значения аргумента $x$, для которых выполняется условие $f'(x) = g'(x)$.

Найдем производную функции $f(x)$. Производная котангенса: $f'(x) = (\operatorname{ctg} x)' = -\frac{1}{\sin^2 x}$.

Найдем производную функции $g(x)$. Производная линейной функции: $g'(x) = (2x + 15)' = 2$.

Теперь составим и решим уравнение $f'(x) = g'(x)$: $-\frac{1}{\sin^2 x} = 2$.

Умножим обе части уравнения на -1: $\frac{1}{\sin^2 x} = -2$.

Из этого уравнения выразим $\sin^2 x$: $\sin^2 x = -\frac{1}{2}$.

Для любого действительного значения $x$, значение $\sin x$ является действительным числом. Квадрат любого действительного числа не может быть отрицательным, то есть $\sin^2 x \ge 0$. Следовательно, уравнение $\sin^2 x = -\frac{1}{2}$ не имеет решений в действительных числах.

Ответ: таких значений аргумента не существует.