Номер 41.62, страница 245, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

●41.62. При каких значениях $a$ и $b$ функция

$y = \begin{cases} 2x - 3, & \text{если } x \le 1, \\ x^2 + ax + b, & \text{если } x > 1: \end{cases}$

а) непрерывна на всей числовой прямой;

б) дифференцируема на всей числовой прямой?

а) непрерывна на всей числовой прямой;

Заданная кусочно-линейная функция определена на всей числовой прямой. На интервалах $(-\infty, 1)$ и $(1, +\infty)$ она задана элементарными функциями (линейной и квадратичной), которые непрерывны на всей своей области определения. Поэтому единственная точка, где непрерывность может быть нарушена, — это точка "стыка" $x=1$.

Для того чтобы функция была непрерывна в точке $x=1$, необходимо и достаточно, чтобы предел функции слева был равен пределу справа и они оба были равны значению функции в этой точке. Формально это записывается как: $\lim_{x\to1-} y(x) = \lim_{x\to1+} y(x) = y(1)$.

1. Найдем значение функции в точке $x=1$. Согласно определению, при $x \le 1$ используется формула $y = 2x - 3$: $y(1) = 2 \cdot 1 - 3 = -1$.

2. Предел слева ($\lim_{x\to1-} y(x)$) будет равен значению функции в точке, так как функция $y=2x-3$ непрерывна. Таким образом, $\lim_{x\to1-} y(x) = -1$.

3. Найдем предел справа. При $x \to 1$ справа ($x > 1$), используется формула $y = x^2 + ax + b$: $\lim_{x\to1+} y(x) = \lim_{x\to1+} (x^2 + ax + b) = 1^2 + a \cdot 1 + b = 1 + a + b$.

4. Приравняем правый предел значению функции в точке $x=1$: $1 + a + b = -1$.

Из этого уравнения получаем условие, связывающее параметры $a$ и $b$: $a + b = -2$.

Ответ: функция непрерывна при всех значениях $a$ и $b$, удовлетворяющих условию $a + b = -2$.

б) дифференцируема на всей числовой прямой?

Для того чтобы функция была дифференцируема на всей числовой прямой, она должна, во-первых, быть непрерывной. Это значит, что условие из пункта (а), $a + b = -2$, должно выполняться.

Во-вторых, для дифференцируемости в точке $x=1$ необходимо, чтобы производная слева в этой точке была равна производной справа.

1. Найдем производную функции для $x < 1$: $y' = (2x - 3)' = 2$. Следовательно, производная слева в точке $x=1$ (левосторонняя производная) равна $y'_{-}(1) = 2$.

2. Найдем производную функции для $x > 1$: $y' = (x^2 + ax + b)' = 2x + a$. Следовательно, производная справа в точке $x=1$ (правосторонняя производная) равна $y'_{+}(1) = 2 \cdot 1 + a = 2 + a$.

3. Приравняем значения односторонних производных в точке $x=1$: $y'_{-}(1) = y'_{+}(1)$ $2 = 2 + a$.

Из этого уравнения находим значение параметра $a$: $a = 0$.

4. Теперь подставим найденное значение $a=0$ в условие непрерывности $a + b = -2$: $0 + b = -2$ $b = -2$.

Таким образом, функция дифференцируема на всей числовой прямой только при ?????????????? значениях параметров.

Ответ: $a=0$, $b=-2$.