Номер 41.65, страница 245, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

41.65. Найдите $f'''(0)$, если:

а) $f(x) = 2x^3 - x^2$;

б) $f(x) = x + \cos x$;

в) $f(x) = 4 \sin x - \cos x$;

г) $f(x) = \sin x + \cos x$.

а)

Чтобы найти значение третьей производной функции $f(x) = 2x^3 - x^2$ в точке $x=0$, нужно последовательно найти первую, вторую и третью производные.

1. Первая производная:

$f'(x) = (2x^3 - x^2)' = 2 \cdot 3x^2 - 2x = 6x^2 - 2x$.

2. Вторая производная:

$f''(x) = (6x^2 - 2x)' = 6 \cdot 2x - 2 = 12x - 2$.

3. Третья производная:

$f'''(x) = (12x - 2)' = 12$.

Поскольку третья производная является константой, ее значение в любой точке, включая $x=0$, равно 12.

$f'''(0) = 12$.

Ответ: $12$.

б)

Для функции $f(x) = x + \cos x$ найдем последовательно три производные.

1. Первая производная:

$f'(x) = (x + \cos x)' = 1 - \sin x$.

2. Вторая производная:

$f''(x) = (1 - \sin x)' = 0 - \cos x = -\cos x$.

3. Третья производная:

$f'''(x) = (-\cos x)' = -(-\sin x) = \sin x$.

Теперь подставим $x=0$ в выражение для третьей производной:

$f'''(0) = \sin(0) = 0$.

Ответ: $0$.

в)

Для функции $f(x) = 4 \sin x - \cos x$ найдем последовательно три производные.

1. Первая производная:

$f'(x) = (4 \sin x - \cos x)' = 4 \cos x - (-\sin x) = 4 \cos x + \sin x$.

2. Вторая производная:

$f''(x) = (4 \cos x + \sin x)' = 4(-\sin x) + \cos x = -4 \sin x + \cos x$.

3. Третья производная:

$f'''(x) = (-4 \sin x + \cos x)' = -4 \cos x - \sin x$.

Подставим $x=0$ в полученное выражение:

$f'''(0) = -4 \cos(0) - \sin(0) = -4 \cdot 1 - 0 = -4$.

Ответ: $-4$.

г)

Для функции $f(x) = \sin x + \cos x$ найдем последовательно три производные.

1. Первая производная:

$f'(x) = (\sin x + \cos x)' = \cos x - \sin x$.

2. Вторая производная:

$f''(x) = (\cos x - \sin x)' = -\sin x - \cos x$.

3. Третья производная:

$f'''(x) = (-\sin x - \cos x)' = -\cos x - (-\sin x) = -\cos x + \sin x$.

Найдем значение третьей производной в точке $x=0$:

$f'''(0) = -\cos(0) + \sin(0) = -1 + 0 = -1$.

Ответ: $-1$.