Номер 41.70, страница 246, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

41.70. a) При каких значениях параметра $a$ касательные к графику функции $y = 4x^2 - |a|x$, проведённые в точках его пересечения с осью $x$, образуют между собой угол $60^\circ$?

б) При каких значениях параметра $a$ касательные к графику функции $y = x^2 + |a|x$, проведённые в точках его пересечения с осью $x$, образуют между собой угол $45^\circ$?

а)

1. Найдём точки пересечения графика функции $y = 4x^2 - |a|x$ с осью $x$. Для этого приравняем $y$ к нулю:
$4x^2 - |a|x = 0$
$x(4x - |a|) = 0$
Отсюда получаем две точки пересечения: $x_1 = 0$ и $x_2 = \frac{|a|}{4}$. Чтобы было две различные точки, необходимо, чтобы $a \ne 0$.

2. Найдём производную функции для определения углового коэффициента касательной. Угловой коэффициент $k$ касательной в точке $x_0$ равен значению производной $y'(x_0)$.
$y' = (4x^2 - |a|x)' = 8x - |a|$

3. Вычислим угловые коэффициенты касательных в точках пересечения.
В точке $x_1 = 0$:
$k_1 = y'(0) = 8 \cdot 0 - |a| = -|a|$
В точке $x_2 = \frac{|a|}{4}$:
$k_2 = y'\left(\frac{|a|}{4}\right) = 8 \cdot \frac{|a|}{4} - |a| = 2|a| - |a| = |a|$

4. Воспользуемся формулой для тангенса угла $\varphi$ между двумя прямыми с угловыми коэффициентами $k_1$ и $k_2$:
$\tan(\varphi) = \left|\frac{k_2 - k_1}{1 + k_1 k_2}\right|$
По условию, угол $\varphi = 60^\circ$, следовательно, $\tan(60^\circ) = \sqrt{3}$.
Подставим значения $k_1$ и $k_2$:
$\sqrt{3} = \left|\frac{|a| - (-|a|)}{1 + (-|a|) \cdot |a|}\right| = \left|\frac{2|a|}{1 - |a|^2}\right|$

5. Решим полученное уравнение относительно $a$. Обозначим $z = |a|$, где $z > 0$.
$\sqrt{3} = \frac{2z}{|1 - z^2|}$
Это уравнение распадается на два случая.
Случай 1: $1 - z^2 > 0$, то есть $0 < z < 1$.
$\sqrt{3} = \frac{2z}{1 - z^2} \implies \sqrt{3}(1 - z^2) = 2z \implies \sqrt{3}z^2 + 2z - \sqrt{3} = 0$
Решая квадратное уравнение, получаем корни $z = \frac{-2 \pm \sqrt{4 - 4(\sqrt{3})(-\sqrt{3})}}{2\sqrt{3}} = \frac{-2 \pm \sqrt{16}}{2\sqrt{3}} = \frac{-2 \pm 4}{2\sqrt{3}}$.
Так как $z > 0$, выбираем корень $z = \frac{-2 + 4}{2\sqrt{3}} = \frac{2}{2\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}}$. Это значение удовлетворяет условию $0 < z < 1$.
Следовательно, $|a| = \frac{1}{\sqrt{3}}$.

Случай 2: $1 - z^2 < 0$, то есть $z > 1$.
$\sqrt{3} = \frac{2z}{-(1 - z^2)} = \frac{2z}{z^2 - 1} \implies \sqrt{3}(z^2 - 1) = 2z \implies \sqrt{3}z^2 - 2z - \sqrt{3} = 0$
Решая квадратное уравнение, получаем корни $z = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4(\sqrt{3})(-\sqrt{3})}}{2\sqrt{3}} = \frac{2 \pm \sqrt{16}}{2\sqrt{3}} = \frac{2 \pm 4}{2\sqrt{3}}$.
Так как $z > 1$, выбираем корень $z = \frac{2 + 4}{2\sqrt{3}} = \frac{6}{2\sqrt{3}} = \frac{3}{\sqrt{3}} = \sqrt{3}$. Это значение удовлетворяет условию $z > 1$.
Следовательно, $|a| = \sqrt{3}$.

Объединяя результаты, получаем, что $|a| = \frac{1}{\sqrt{3}}$ или $|a| = \sqrt{3}$.

Ответ: $a = \pm\frac{1}{\sqrt{3}}, a = \pm\sqrt{3}$.

б)

1. Найдём точки пересечения графика функции $y = x^2 + |a|x$ с осью $x$:
$x^2 + |a|x = 0$
$x(x + |a|) = 0$
Точки пересечения: $x_1 = 0$ и $x_2 = -|a|$. При $a \ne 0$ точки различны.

2. Найдём производную функции:
$y' = (x^2 + |a|x)' = 2x + |a|$

3. Вычислим угловые коэффициенты касательных в точках пересечения.
В точке $x_1 = 0$:
$k_1 = y'(0) = 2 \cdot 0 + |a| = |a|$
В точке $x_2 = -|a|$:
$k_2 = y'(-|a|) = 2(-|a|) + |a| = -2|a| + |a| = -|a|$

4. Используем формулу для тангенса угла между прямыми. По условию, угол $\varphi = 45^\circ$, значит, $\tan(45^\circ) = 1$.
$1 = \left|\frac{k_2 - k_1}{1 + k_1 k_2}\right| = \left|\frac{-|a| - |a|}{1 + |a| \cdot (-|a|)}\right| = \left|\frac{-2|a|}{1 - |a|^2}\right| = \left|\frac{2|a|}{1 - |a|^2}\right|$

5. Решим полученное уравнение. Обозначим $z = |a|$, где $z > 0$.
$1 = \frac{2z}{|1 - z^2|}$
Случай 1: $1 - z^2 > 0$, то есть $0 < z < 1$.
$1 = \frac{2z}{1 - z^2} \implies 1 - z^2 = 2z \implies z^2 + 2z - 1 = 0$
$z = \frac{-2 \pm \sqrt{4 - 4(1)(-1)}}{2} = \frac{-2 \pm \sqrt{8}}{2} = -1 \pm \sqrt{2}$.
Так как $z > 0$, выбираем корень $z = \sqrt{2} - 1$. Это значение удовлетворяет условию $0 < z < 1$.
Следовательно, $|a| = \sqrt{2} - 1$.

Случай 2: $1 - z^2 < 0$, то есть $z > 1$.
$1 = \frac{2z}{-(1 - z^2)} = \frac{2z}{z^2 - 1} \implies z^2 - 1 = 2z \implies z^2 - 2z - 1 = 0$
$z = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4(1)(-1)}}{2} = \frac{2 \pm \sqrt{8}}{2} = 1 \pm \sqrt{2}$.
Так как $z > 1$, выбираем корень $z = 1 + \sqrt{2}$. Это значение удовлетворяет условию $z > 1$.
Следовательно, $|a| = \sqrt{2} + 1$.

Объединяя результаты, получаем, что $|a| = \sqrt{2} - 1$ или $|a| = \sqrt{2} + 1$.

Ответ: $a = \pm(\sqrt{2}-1), a = \pm(\sqrt{2}+1)$.