Номер 42.7, страница 247, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

42.7. а) $y = \sin^3 x;$

б) $y = \sqrt{\operatorname{ctg} x};$

В) $y = \operatorname{tg}^5 x;$

Г) $y = \operatorname{tg}(x + x^3).$

а) Для нахождения производной функции $y = \sin^3 x$ воспользуемся правилом дифференцирования сложной функции (цепным правилом).
Функцию можно представить как композицию двух функций: внешней $f(u) = u^3$ и внутренней $u(x) = \sin x$.
Производная сложной функции равна произведению производной внешней функции по промежуточному аргументу $u$ на производную внутренней функции по $x$.
$y' = (u^3)'_u \cdot (\sin x)'_x$
Находим производные:
1. Производная внешней функции: $(u^3)' = 3u^2$. Подставляя обратно $u = \sin x$, получаем $3\sin^2 x$.
2. Производная внутренней функции: $(\sin x)' = \cos x$.
Перемножаем результаты:
$y' = 3\sin^2 x \cdot \cos x$
Ответ: $y' = 3\sin^2 x \cos x$.

б) Для нахождения производной функции $y = \sqrt{\ctg x}$ также используем правило дифференцирования сложной функции.
Представим функцию в виде $y = (\ctg x)^{1/2}$.
Здесь внешняя функция $f(u) = u^{1/2}$, а внутренняя $u(x) = \ctg x$.
$y' = (u^{1/2})'_u \cdot (\ctg x)'_x$
Находим производные:
1. Производная внешней функции: $(u^{1/2})' = \frac{1}{2}u^{-1/2} = \frac{1}{2\sqrt{u}}$. Подставляя $u = \ctg x$, получаем $\frac{1}{2\sqrt{\ctg x}}$.
2. Производная внутренней функции: $(\ctg x)' = -\frac{1}{\sin^2 x}$.
Перемножаем результаты:
$y' = \frac{1}{2\sqrt{\ctg x}} \cdot \left(-\frac{1}{\sin^2 x}\right) = -\frac{1}{2\sin^2 x \sqrt{\ctg x}}$.
Ответ: $y' = -\frac{1}{2\sin^2 x \sqrt{\ctg x}}$.

в) Для нахождения производной функции $y = \tg^5 x$ используем правило дифференцирования сложной функции.
Внешняя функция $f(u) = u^5$, внутренняя функция $u(x) = \tg x$.
$y' = (u^5)'_u \cdot (\tg x)'_x$
Находим производные:
1. Производная внешней функции: $(u^5)' = 5u^4$. Подставляя $u = \tg x$, получаем $5\tg^4 x$.
2. Производная внутренней функции: $(\tg x)' = \frac{1}{\cos^2 x}$.
Перемножаем результаты:
$y' = 5\tg^4 x \cdot \frac{1}{\cos^2 x} = \frac{5\tg^4 x}{\cos^2 x}$.
Ответ: $y' = \frac{5\tg^4 x}{\cos^2 x}$.

г) Для нахождения производной функции $y = \tg(x + x^3)$ используем правило дифференцирования сложной функции.
Внешняя функция $f(u) = \tg u$, внутренняя функция $u(x) = x + x^3$.
$y' = (\tg u)'_u \cdot (x + x^3)'_x$
Находим производные:
1. Производная внешней функции: $(\tg u)' = \frac{1}{\cos^2 u}$. Подставляя $u = x + x^3$, получаем $\frac{1}{\cos^2(x + x^3)}$.
2. Производная внутренней функции (производная суммы): $(x + x^3)' = (x)' + (x^3)' = 1 + 3x^2$.
Перемножаем результаты:
$y' = \frac{1}{\cos^2(x + x^3)} \cdot (1 + 3x^2) = \frac{1 + 3x^2}{\cos^2(x + x^3)}$.
Ответ: $y' = \frac{1 + 3x^2}{\cos^2(x + x^3)}$.