Номер 42.14, страница 248, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

42.14. a) $y = \sin\left(3x - \frac{\pi}{4}\right), x_0 = \frac{\pi}{4};$

б) $y = \operatorname{tg} 6x, x_0 = \frac{\pi}{24};$

в) $y = \cos\left(\frac{\pi}{3} - 2x\right), x_0 = \frac{\pi}{3};$

г) $y = \operatorname{ctg}\frac{x}{3}, x_0 = \pi.$

а) $y = \sin(3x - \frac{\pi}{4})$, $x_0 = \frac{\pi}{4}$

Для решения задачи необходимо найти производную функции $y(x)$ и затем вычислить её значение в точке $x_0$.

Функция $y = \sin(3x - \frac{\pi}{4})$ является сложной. Для нахождения её производной применим правило дифференцирования сложной функции: $(f(g(x)))' = f'(g(x)) \cdot g'(x)$.

Находим производную функции $y(x)$:

$y'(x) = (\sin(3x - \frac{\pi}{4}))' = \cos(3x - \frac{\pi}{4}) \cdot (3x - \frac{\pi}{4})' = \cos(3x - \frac{\pi}{4}) \cdot 3 = 3\cos(3x - \frac{\pi}{4})$.

Теперь вычислим значение производной в точке $x_0 = \frac{\pi}{4}$:

$y'(\frac{\pi}{4}) = 3\cos(3 \cdot \frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{4}) = 3\cos(\frac{3\pi - \pi}{4}) = 3\cos(\frac{2\pi}{4}) = 3\cos(\frac{\pi}{2})$.

Так как значение косинуса $\cos(\frac{\pi}{2}) = 0$, получаем:

$y'(\frac{\pi}{4}) = 3 \cdot 0 = 0$.

Ответ: 0

б) $y = \operatorname{tg} 6x$, $x_0 = \frac{\pi}{24}$

Для решения задачи найдем производную функции $y(x)$ и вычислим её значение в точке $x_0$.

Функция $y = \operatorname{tg} 6x$ является сложной. Применим правило дифференцирования сложной функции. Вспомним, что производная тангенса $(\operatorname{tg} u)' = \frac{1}{\cos^2 u}$.

Находим производную функции $y(x)$:

$y'(x) = (\operatorname{tg} 6x)' = \frac{1}{\cos^2(6x)} \cdot (6x)' = \frac{1}{\cos^2(6x)} \cdot 6 = \frac{6}{\cos^2(6x)}$.

Теперь вычислим значение производной в точке $x_0 = \frac{\pi}{24}$:

$y'(\frac{\pi}{24}) = \frac{6}{\cos^2(6 \cdot \frac{\pi}{24})} = \frac{6}{\cos^2(\frac{\pi}{4})}$.

Значение косинуса $\cos(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$, следовательно, $\cos^2(\frac{\pi}{4}) = (\frac{\sqrt{2}}{2})^2 = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$.

Подставляем это значение в выражение для производной:

$y'(\frac{\pi}{24}) = \frac{6}{1/2} = 6 \cdot 2 = 12$.

Ответ: 12

в) $y = \cos(\frac{\pi}{3} - 2x)$, $x_0 = \frac{\pi}{3}$

Для решения задачи найдем производную функции $y(x)$ и вычислим её значение в точке $x_0$.

Функция $y = \cos(\frac{\pi}{3} - 2x)$ является сложной. Применим правило дифференцирования сложной функции.

Находим производную функции $y(x)$:

$y'(x) = (\cos(\frac{\pi}{3} - 2x))' = -\sin(\frac{\pi}{3} - 2x) \cdot (\frac{\pi}{3} - 2x)' = -\sin(\frac{\pi}{3} - 2x) \cdot (-2) = 2\sin(\frac{\pi}{3} - 2x)$.

Теперь вычислим значение производной в точке $x_0 = \frac{\pi}{3}$:

$y'(\frac{\pi}{3}) = 2\sin(\frac{\pi}{3} - 2 \cdot \frac{\pi}{3}) = 2\sin(\frac{\pi}{3} - \frac{2\pi}{3}) = 2\sin(-\frac{\pi}{3})$.

Используя свойство нечетности синуса $\sin(-a) = -\sin(a)$, получаем:

$y'(\frac{\pi}{3}) = -2\sin(\frac{\pi}{3})$.

Так как значение синуса $\sin(\frac{\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$, то:

$y'(\frac{\pi}{3}) = -2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = -\sqrt{3}$.

Ответ: $-\sqrt{3}$

г) $y = \operatorname{ctg} \frac{x}{3}$, $x_0 = \pi$

Для решения задачи найдем производную функции $y(x)$ и вычислим её значение в точке $x_0$.

Функция $y = \operatorname{ctg} \frac{x}{3}$ является сложной. Применим правило дифференцирования сложной функции. Вспомним, что производная котангенса $(\operatorname{ctg} u)' = -\frac{1}{\sin^2 u}$.

Находим производную функции $y(x)$:

$y'(x) = (\operatorname{ctg} \frac{x}{3})' = -\frac{1}{\sin^2(\frac{x}{3})} \cdot (\frac{x}{3})' = -\frac{1}{\sin^2(\frac{x}{3})} \cdot \frac{1}{3} = -\frac{1}{3\sin^2(\frac{x}{3})}$.

Теперь вычислим значение производной в точке $x_0 = \pi$:

$y'(\pi) = -\frac{1}{3\sin^2(\frac{\pi}{3})}$.

Значение синуса $\sin(\frac{\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$, следовательно, $\sin^2(\frac{\pi}{3}) = (\frac{\sqrt{3}}{2})^2 = \frac{3}{4}$.

Подставляем это значение в выражение для производной:

$y'(\pi) = -\frac{1}{3 \cdot \frac{3}{4}} = -\frac{1}{\frac{9}{4}} = -\frac{4}{9}$.

Ответ: $-\frac{4}{9}$