Номер 42.19, страница 249, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

42.19. Найдите тангенс угла между касательной к графику функции $y = h(x)$ в точке с абсциссой $x_0$ и осью $x$:

а) $h(x) = \frac{18}{4x + 1}$, $x_0 = 0,5$;

б) $h(x) = \cos^3 x$, $x_0 = \frac{\pi}{6}$;

в) $h(x) = \sqrt{6 - 2x}$, $x_0 = 1$;

г) $h(x) = \sqrt{\text{tg } x}$, $x_0 = \frac{\pi}{4}$.

Тангенс угла между касательной к графику функции $y = h(x)$ в точке с абсциссой $x_0$ и осью x равен значению производной функции в этой точке, то есть $k = \tan \alpha = h'(x_0)$. Для решения каждой задачи необходимо найти производную функции и вычислить её значение в заданной точке $x_0$.

а) Дана функция $h(x) = \frac{18}{4x + 1}$ и точка $x_0 = 0,5$.

Найдём производную функции. Удобно представить функцию в виде $h(x) = 18(4x + 1)^{-1}$. Используя правило дифференцирования сложной функции, получаем: $h'(x) = \left(18(4x + 1)^{-1}\right)' = 18 \cdot (-1) \cdot (4x + 1)^{-2} \cdot (4x+1)' = -18(4x + 1)^{-2} \cdot 4 = -\frac{72}{(4x+1)^2}$.

Теперь вычислим значение производной в точке $x_0 = 0,5$: $h'(0,5) = -\frac{72}{(4 \cdot 0,5 + 1)^2} = -\frac{72}{(2+1)^2} = -\frac{72}{3^2} = -\frac{72}{9} = -8$.

Ответ: -8.

б) Дана функция $h(x) = \cos^3 x$ и точка $x_0 = \frac{\pi}{6}$.

Найдём производную функции $h(x)$ по правилу дифференцирования сложной функции: $h'(x) = (\cos^3 x)' = 3\cos^2 x \cdot (\cos x)' = 3\cos^2 x \cdot (-\sin x) = -3\cos^2 x \sin x$.

Вычислим значение производной в точке $x_0 = \frac{\pi}{6}$. Мы знаем, что $\cos(\frac{\pi}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ и $\sin(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{2}$. $h'\left(\frac{\pi}{6}\right) = -3 \cos^2\left(\frac{\pi}{6}\right) \sin\left(\frac{\pi}{6}\right) = -3 \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 \left(\frac{1}{2}\right) = -3 \cdot \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{2} = -\frac{9}{8}$.

Ответ: $-\frac{9}{8}$.

в) Дана функция $h(x) = \sqrt{6 - 2x}$ и точка $x_0 = 1$.

Найдём производную функции $h(x)$, представив её как $h(x) = (6 - 2x)^{1/2}$: $h'(x) = \left((6 - 2x)^{1/2}\right)' = \frac{1}{2}(6 - 2x)^{-1/2} \cdot (6 - 2x)' = \frac{1}{2\sqrt{6 - 2x}} \cdot (-2) = -\frac{1}{\sqrt{6 - 2x}}$.

Вычислим значение производной в точке $x_0 = 1$: $h'(1) = -\frac{1}{\sqrt{6 - 2 \cdot 1}} = -\frac{1}{\sqrt{4}} = -\frac{1}{2}$.

Ответ: $-\frac{1}{2}$.

г) Дана функция $h(x) = \sqrt{\tan x}$ и точка $x_0 = \frac{\pi}{4}$.

Найдём производную функции $h(x)$, представив её как $h(x) = (\tan x)^{1/2}$: $h'(x) = \left((\tan x)^{1/2}\right)' = \frac{1}{2}(\tan x)^{-1/2} \cdot (\tan x)' = \frac{1}{2\sqrt{\tan x}} \cdot \frac{1}{\cos^2 x}$.

Вычислим значение производной в точке $x_0 = \frac{\pi}{4}$. Мы знаем, что $\tan(\frac{\pi}{4}) = 1$ и $\cos(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$. $h'\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{1}{2\sqrt{\tan\left(\frac{\pi}{4}\right)} \cdot \cos^2\left(\frac{\pi}{4}\right)} = \frac{1}{2\sqrt{1} \cdot \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2} = \frac{1}{2 \cdot 1 \cdot \frac{2}{4}} = \frac{1}{2 \cdot \frac{1}{2}} = 1$.

Ответ: 1.