Номер 42.22, страница 249, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

42.22. а) Найдите корни уравнения $f'(x)=0$, принадлежащие отрезку $[0, 2]$, если известно, что $f(x) = \cos^2 x + 1 + \sin x$.

б) Найдите корни уравнения $f'(x)=0$, принадлежащие отрезку $[\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}]$, если известно, что $f(x) = \sin^2 x - \cos x - 1$.

а)

Для того чтобы найти корни уравнения $f'(x) = 0$, сначала необходимо найти производную функции $f(x) = \cos^2 x + 1 + \sin x$.

Используем правила дифференцирования:

• Производная от $\cos^2 x$ находится как производная сложной функции: $(\cos^2 x)' = 2 \cos x \cdot (\cos x)' = 2 \cos x \cdot (-\sin x) = -2 \sin x \cos x$.
• Производная от константы 1 равна 0.
• Производная от $\sin x$ равна $\cos x$.

Сложив производные всех слагаемых, получаем производную функции $f(x)$:

$f'(x) = -2 \sin x \cos x + 0 + \cos x = \cos x - 2 \sin x \cos x$.

Теперь решим уравнение $f'(x) = 0$:

$\cos x - 2 \sin x \cos x = 0$

Вынесем общий множитель $\cos x$ за скобки:

$\cos x (1 - 2 \sin x) = 0$

Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю. Таким образом, получаем два уравнения:

1) $\cos x = 0$

2) $1 - 2 \sin x = 0 \implies \sin x = \frac{1}{2}$

Теперь найдем корни этих уравнений, принадлежащие отрезку $[0, 2]$.

Для уравнения $\cos x = 0$ общая формула для корней $x = \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Проверим, какие корни попадают в отрезок $[0, 2]$. Используем приближенное значение $\pi \approx 3.14$.

• При $k=0$, $x = \frac{\pi}{2} \approx 1.57$. Так как $0 \le 1.57 \le 2$, корень $x = \frac{\pi}{2}$ принадлежит отрезку.
• При $k=1$, $x = \frac{\pi}{2} + \pi = \frac{3\pi}{2} \approx 4.71$. Этот корень не принадлежит отрезку $[0, 2]$.
• При $k=-1$, $x = \frac{\pi}{2} - \pi = -\frac{\pi}{2} \approx -1.57$. Этот корень не принадлежит отрезку $[0, 2]$.

Для уравнения $\sin x = \frac{1}{2}$ общие формулы для корней: $x = \frac{\pi}{6} + 2\pi n$ и $x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Проверим первую серию корней $x = \frac{\pi}{6} + 2\pi n$ на принадлежность отрезку $[0, 2]$.

• При $n=0$, $x = \frac{\pi}{6} \approx \frac{3.14}{6} \approx 0.52$. Так как $0 \le 0.52 \le 2$, корень $x = \frac{\pi}{6}$ принадлежит отрезку.
• При $n=1$, $x = \frac{\pi}{6} + 2\pi$, что очевидно больше 2.

Проверим вторую серию корней $x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi n$.

• При $n=0$, $x = \frac{5\pi}{6} \approx \frac{5 \cdot 3.14}{6} \approx 2.62$. Этот корень не принадлежит отрезку $[0, 2]$, так как $2.62 > 2$.

Итак, корни уравнения $f'(x)=0$, принадлежащие отрезку $[0, 2]$, это $\frac{\pi}{6}$ и $\frac{\pi}{2}$.

Ответ: $\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{2}$.

б)

Дана функция $f(x) = \sin^2 x - \cos x - 1$. Сначала найдем её производную.

Используем правила дифференцирования:

• Производная от $\sin^2 x$ находится как производная сложной функции: $(\sin^2 x)' = 2 \sin x \cdot (\sin x)' = 2 \sin x \cos x$.
• Производная от $-\cos x$ равна $-(-\sin x) = \sin x$.
• Производная от константы -1 равна 0.

Таким образом, производная функции $f(x)$ равна:

$f'(x) = 2 \sin x \cos x + \sin x$.

Решим уравнение $f'(x) = 0$:

$2 \sin x \cos x + \sin x = 0$

Вынесем $\sin x$ за скобки:

$\sin x (2 \cos x + 1) = 0$

Получаем два уравнения:

1) $\sin x = 0$

2) $2 \cos x + 1 = 0 \implies \cos x = -\frac{1}{2}$

Найдем корни этих уравнений, принадлежащие отрезку $[\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}]$. Этот отрезок включает в себя вторую и третью координатные четверти.

Для уравнения $\sin x = 0$ общая формула для корней $x = \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Отберем корни, принадлежащие отрезку $[\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}]$:

• При $k=0$, $x = 0$. Не принадлежит отрезку.
• При $k=1$, $x = \pi$. Так как $\frac{\pi}{2} \le \pi \le \frac{3\pi}{2}$, этот корень подходит.
• При $k=2$, $x = 2\pi$. Не принадлежит отрезку.

Для уравнения $\cos x = -\frac{1}{2}$ общие формулы для корней: $x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Отберем корни, принадлежащие отрезку $[\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}]$.

Для серии $x = \frac{2\pi}{3} + 2\pi n$:

• При $n=0$, $x = \frac{2\pi}{3}$. Этот корень находится во второй четверти, поэтому $\frac{\pi}{2} < \frac{2\pi}{3} < \pi$. Корень принадлежит заданному отрезку.

Для серии $x = -\frac{2\pi}{3} + 2\pi n$:

• При $n=1$, $x = -\frac{2\pi}{3} + 2\pi = \frac{4\pi}{3}$. Этот корень находится в третьей четверти, поэтому $\pi < \frac{4\pi}{3} < \frac{3\pi}{2}$. Корень принадлежит заданному отрезку.

Итак, корни уравнения $f'(x)=0$, принадлежащие отрезку $[\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}]$, это $\frac{2\pi}{3}, \pi$ и $\frac{4\pi}{3}$.

Ответ: $\frac{2\pi}{3}, \pi, \frac{4\pi}{3}$.