Номер 42.27, страница 250, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

42.27. Проверьте равенство $g'(x) = f(x)$, если:

a) $g(x) = (1 - x^2) \sin x^2 - \cos x^2, f(x) = 2(x - x^3) \cos x^2;$

б) $g(x) = (x^2 - 1,5) \cos 2x - x \sin 2x, f(x) = (2 - 2x^2) \sin 2x.$

а)

Даны функции $g(x) = (1 - x^2) \sin x^2 - \cos x^2$ и $f(x) = 2(x - x^3) \cos x^2$.

Для проверки равенства $g'(x) = f(x)$ необходимо найти производную функции $g(x)$.

Производная функции $g(x)$ находится как производная разности двух функций: $(u-v)' = u' - v'$.

Найдем производную первого слагаемого $u(x) = (1 - x^2) \sin x^2$, используя правило производной произведения $(uv)' = u'v + uv'$ и правило дифференцирования сложной функции.

$((1 - x^2) \sin x^2)' = (1 - x^2)' \sin x^2 + (1 - x^2) (\sin x^2)'$

Здесь $(1 - x^2)' = -2x$ и $(\sin x^2)' = \cos x^2 \cdot (x^2)' = 2x \cos x^2$.

Тогда:

$((1 - x^2) \sin x^2)' = -2x \sin x^2 + (1 - x^2)(2x \cos x^2) = -2x \sin x^2 + 2x \cos x^2 - 2x^3 \cos x^2$

Теперь найдем производную второго слагаемого $v(x) = \cos x^2$:

$(\cos x^2)' = -\sin x^2 \cdot (x^2)' = -2x \sin x^2$

Теперь найдем $g'(x)$, вычитая вторую производную из первой:

$g'(x) = (-2x \sin x^2 + 2x \cos x^2 - 2x^3 \cos x^2) - (-2x \sin x^2)$

$g'(x) = -2x \sin x^2 + 2x \cos x^2 - 2x^3 \cos x^2 + 2x \sin x^2$

Сокращаем подобные слагаемые:

$g'(x) = 2x \cos x^2 - 2x^3 \cos x^2$

Вынесем общий множитель за скобки:

$g'(x) = 2x(1 - x^2) \cos x^2$

Преобразуем данную функцию $f(x)$:

$f(x) = 2(x - x^3) \cos x^2 = 2x(1 - x^2) \cos x^2$

Сравнивая полученное выражение для $g'(x)$ с $f(x)$, мы видим, что они идентичны. Следовательно, равенство $g'(x) = f(x)$ верно.

Ответ: Равенство $g'(x) = f(x)$ верно.

б)

Даны функции $g(x) = (x^2 - 1,5) \cos 2x - x \sin 2x$ и $f(x) = (2 - 2x^2) \sin 2x$.

Для проверки равенства $g'(x) = f(x)$ необходимо найти производную функции $g(x)$.

Функция $g(x)$ является разностью двух выражений, производную которых мы найдем по отдельности, используя правило производной произведения $(uv)' = u'v + uv'$ и правило дифференцирования сложной функции.

Производная первого выражения $(x^2 - 1,5) \cos 2x$:

$((x^2 - 1,5) \cos 2x)' = (x^2 - 1,5)' \cos 2x + (x^2 - 1,5) (\cos 2x)'$

Здесь $(x^2 - 1,5)' = 2x$ и $(\cos 2x)' = -\sin 2x \cdot (2x)' = -2 \sin 2x$.

$((x^2 - 1,5) \cos 2x)' = 2x \cos 2x + (x^2 - 1,5)(-2 \sin 2x) = 2x \cos 2x - 2(x^2 - 1,5)\sin 2x = 2x \cos 2x - 2x^2 \sin 2x + 3 \sin 2x$

Производная второго выражения $x \sin 2x$:

$(x \sin 2x)' = (x)' \sin 2x + x (\sin 2x)'$

Здесь $(x)' = 1$ и $(\sin 2x)' = \cos 2x \cdot (2x)' = 2 \cos 2x$.

$(x \sin 2x)' = 1 \cdot \sin 2x + x \cdot (2 \cos 2x) = \sin 2x + 2x \cos 2x$

Теперь найдем $g'(x)$, вычитая вторую производную из первой:

$g'(x) = (2x \cos 2x - 2x^2 \sin 2x + 3 \sin 2x) - (\sin 2x + 2x \cos 2x)$

$g'(x) = 2x \cos 2x - 2x^2 \sin 2x + 3 \sin 2x - \sin 2x - 2x \cos 2x$

Сокращаем подобные слагаемые:

$g'(x) = -2x^2 \sin 2x + 2 \sin 2x$

Вынесем общий множитель $2 \sin 2x$ за скобки:

$g'(x) = (2 - 2x^2) \sin 2x$

Сравнивая полученное выражение для $g'(x)$ с данной функцией $f(x) = (2 - 2x^2) \sin 2x$, мы видим, что они совпадают. Следовательно, равенство $g'(x) = f(x)$ верно.

Ответ: Равенство $g'(x) = f(x)$ верно.