Номер 42.31, страница 250, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

42.31. a) $f'(x) = \frac{2}{(2x + 3)^2}$

б) $f'(x) = \frac{5}{2\sqrt{5x - 7}}$

а)

Для нахождения функции $f(x)$ по её производной $f'(x)$ необходимо найти неопределенный интеграл от $f'(x)$.

$f(x) = \int f'(x) \,dx = \int \frac{2}{(2x + 3)^2} \,dx$

Чтобы вычислить этот интеграл, представим подынтегральное выражение в виде степенной функции и воспользуемся методом замены переменной.

$f(x) = \int 2(2x + 3)^{-2} \,dx$

Пусть $u = 2x + 3$. Тогда найдем дифференциал $du$: $du = (2x + 3)'dx = 2dx$.

Теперь подставим $u$ и $du$ в интеграл:

$\int (2x + 3)^{-2} \cdot (2dx) = \int u^{-2} \,du$

Используем табличный интеграл для степенной функции $\int u^n \,du = \frac{u^{n+1}}{n+1} + C$:

$\int u^{-2} \,du = \frac{u^{-2+1}}{-2+1} + C = \frac{u^{-1}}{-1} + C = -\frac{1}{u} + C$

Выполним обратную замену, подставив $2x + 3$ вместо $u$:

$f(x) = -\frac{1}{2x + 3} + C$, где $C$ — произвольная постоянная.

Для проверки выполним дифференцирование найденной функции:

$f'(x) = \left(-\frac{1}{2x + 3} + C\right)' = \left(-(2x+3)^{-1}\right)' = -(-1)(2x+3)^{-2} \cdot (2x+3)' = (2x+3)^{-2} \cdot 2 = \frac{2}{(2x+3)^2}$

Результат совпадает с исходной производной, следовательно, решение верно.

Ответ: $f(x) = -\frac{1}{2x + 3} + C$.

б)

Для нахождения функции $f(x)$ по её производной $f'(x) = \frac{5}{2\sqrt{5x-7}}$ найдем соответствующий неопределенный интеграл.

$f(x) = \int \frac{5}{2\sqrt{5x-7}} \,dx$

Перепишем подынтегральное выражение, используя степенное представление корня, и вынесем константу за знак интеграла:

$f(x) = \frac{1}{2} \int 5(5x-7)^{-1/2} \,dx$

Применим метод замены переменной. Пусть $u = 5x - 7$. Тогда дифференциал $du = (5x - 7)'dx = 5dx$.

Подставим $u$ и $du$ в интеграл:

$\frac{1}{2} \int (5x-7)^{-1/2} \cdot (5dx) = \frac{1}{2} \int u^{-1/2} \,du$

Используем табличный интеграл для степенной функции $\int u^n \,du = \frac{u^{n+1}}{n+1} + C$:

$\frac{1}{2} \int u^{-1/2} \,du = \frac{1}{2} \cdot \frac{u^{-1/2+1}}{-1/2+1} + C = \frac{1}{2} \cdot \frac{u^{1/2}}{1/2} + C = u^{1/2} + C = \sqrt{u} + C$

Выполним обратную замену, подставив $5x - 7$ вместо $u$:

$f(x) = \sqrt{5x - 7} + C$, где $C$ — произвольная постоянная.

Для проверки выполним дифференцирование найденной функции:

$f'(x) = \left(\sqrt{5x-7} + C\right)' = \left((5x-7)^{1/2}\right)' = \frac{1}{2}(5x-7)^{-1/2} \cdot (5x-7)' = \frac{1}{2\sqrt{5x-7}} \cdot 5 = \frac{5}{2\sqrt{5x-7}}$

Результат совпадает с исходной производной, следовательно, решение верно.

Ответ: $f(x) = \sqrt{5x - 7} + C$.