Номер 42.37, страница 251, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

42.37. a) Решите уравнение $f'(x) = 2$, если $f(x) = \operatorname{arctg}(2x)$.

б) Найдите те значения $x$, при которых выполняется равенство $(f'(x))^2 = \frac{1}{x}$, где $f(x) = 2 \arcsin \sqrt{x}$.

а)

Дана функция $f(x) = \operatorname{arctg}(2x)$. Требуется решить уравнение $f'(x) = 2$.

Сначала найдем производную функции $f(x)$. Это сложная функция, поэтому используем правило дифференцирования сложной функции (цепное правило). Производная арктангенса $(\operatorname{arctg} u)' = \frac{1}{1+u^2}$, а производная внутренней функции $(2x)' = 2$.

$f'(x) = (\operatorname{arctg}(2x))' = \frac{1}{1+(2x)^2} \cdot (2x)' = \frac{1}{1+4x^2} \cdot 2 = \frac{2}{1+4x^2}$.

Теперь подставим найденную производную в уравнение $f'(x) = 2$:

$\frac{2}{1+4x^2} = 2$.

Разделим обе части уравнения на 2 (это возможно, так как $2 \neq 0$):

$\frac{1}{1+4x^2} = 1$.

Отсюда следует, что знаменатель должен быть равен 1:

$1+4x^2 = 1$.

Вычтем 1 из обеих частей уравнения:

$4x^2 = 0$.

$x^2 = 0$.

Следовательно, $x=0$.

Ответ: $x=0$.

б)

Дана функция $f(x) = 2\arcsin\sqrt{x}$. Требуется найти значения $x$, при которых выполняется равенство $(f'(x))^2 = \frac{1}{x}$.

Найдем область определения функции $f(x)$. Аргумент арксинуса должен быть в пределах от -1 до 1, а подкоренное выражение должно быть неотрицательным.

$\begin{cases} x \ge 0 \\ -1 \le \sqrt{x} \le 1 \end{cases}$

Поскольку $\sqrt{x}$ всегда неотрицателен, система упрощается до $0 \le \sqrt{x} \le 1$. Возведя в квадрат, получаем $0 \le x \le 1$. Таким образом, область определения функции $D(f) = [0, 1]$.

Теперь найдем производную $f'(x)$. Используем правило дифференцирования сложной функции. Производная арксинуса $(\arcsin u)' = \frac{1}{\sqrt{1-u^2}}$, а производная внутренней функции $(\sqrt{x})' = \frac{1}{2\sqrt{x}}$.

$f'(x) = (2\arcsin\sqrt{x})' = 2 \cdot \frac{1}{\sqrt{1-(\sqrt{x})^2}} \cdot (\sqrt{x})' = 2 \cdot \frac{1}{\sqrt{1-x}} \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}} = \frac{1}{\sqrt{x}\sqrt{1-x}} = \frac{1}{\sqrt{x-x^2}}$.

Производная определена, когда выражение под корнем в знаменателе строго больше нуля: $x-x^2 > 0$, или $x(1-x) > 0$. Решением этого неравенства является интервал $x \in (0, 1)$.

Теперь составим уравнение $(f'(x))^2 = \frac{1}{x}$:

$(\frac{1}{\sqrt{x-x^2}})^2 = \frac{1}{x}$.

$\frac{1}{x-x^2} = \frac{1}{x}$.

Это уравнение имеет смысл при $x \neq 0$ и $x-x^2 \neq 0$ (то есть $x \neq 1$). Учитывая область определения производной, мы ищем решения в интервале $x \in (0, 1)$.

Так как числители дробей равны, то и знаменатели должны быть равны:

$x-x^2 = x$.

Вычтем $x$ из обеих частей уравнения:

$-x^2 = 0$.

$x^2 = 0$.

Единственное алгебраическое решение этого уравнения — $x=0$. Однако это значение не входит в область допустимых значений $x \in (0, 1)$, для которых исходное равенство определено. Следовательно, уравнение не имеет решений.

Ответ: решений нет.