Номер 43.1, страница 251, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

43.1. Определите знак углового коэффициента касательной, проведённой к графику функции $y = f(x)$ в точках с абсциссами $a, b, c$:

а) рис. 90;

б) рис. 91.

Рис. 90

Рис. 91

Угловой коэффициент касательной, проведённой к графику функции $y = f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$, равен значению производной функции в этой точке, то есть $k = f'(x_0)$. Знак углового коэффициента можно определить по поведению графика функции в окрестности этой точки:

• Если функция возрастает (график идёт вверх при движении слева направо), то касательная образует острый угол с положительным направлением оси Ox, и её угловой коэффициент положителен: $k > 0$.
• Если функция убывает (график идёт вниз при движении слева направо), то касательная образует тупой угол с положительным направлением оси Ox, и её угловой коэффициент отрицателен: $k < 0$.
• Если точка является точкой экстремума (локального минимума или максимума), то касательная в этой точке горизонтальна, и её угловой коэффициент равен нулю: $k = 0$.

Проанализируем график, представленный на рисунке 90, в заданных точках:

• В точке с абсциссой a: График функции в этой точке достигает локального минимума. Касательная к графику в точке экстремума всегда горизонтальна. Следовательно, её угловой коэффициент равен нулю.
• В точке с абсциссой b: В окрестности этой точки функция убывает, так как её график направлен вниз. Следовательно, угловой коэффициент касательной в этой точке отрицателен.
• В точке с абсциссой c: В окрестности этой точки функция возрастает, так как её график направлен вверх. Следовательно, угловой коэффициент касательной в этой точке положителен.

Ответ: в точке $a$ угловой коэффициент равен нулю, в точке $b$ — отрицательный, в точке $c$ — положительный.

Проанализируем график, представленный на рисунке 91, в заданных точках:

• В точке с абсциссой a: В окрестности этой точки функция убывает (график идёт вниз). Следовательно, угловой коэффициент касательной отрицателен.
• В точке с абсциссой b: В окрестности этой точки функция также убывает. Следовательно, угловой коэффициент касательной тоже отрицателен.
• В точке с абсциссой c: В окрестности этой точки функция возрастает (график идёт вверх). Следовательно, угловой коэффициент касательной положителен.

Ответ: в точке $a$ угловой коэффициент отрицательный, в точке $b$ — отрицательный, в точке $c$ — положительный.