Номер 43.7, страница 253, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

Найдите тангенс угла наклона касательной, проведённой к графику функции $y = f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$:

43.7. а) $f(x) = (x - 2)(x^2 + 2x + 4)$, $x_0 = 3$;

б) $f(x) = \cos^2 3x - \sin^2 3x$, $x_0 = \frac{\pi}{6}$;

в) $f(x) = (2x + 1)(4x^2 - 2x + 1)$, $x_0 = -\frac{1}{2}$;

г) $f(x) = \sin x \cdot \cos x \cdot \cos 2x$, $x_0 = \frac{\pi}{4}$.

Тангенс угла наклона касательной, проведённой к графику функции $y = f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$, равен значению производной функции в этой точке. Таким образом, задача сводится к нахождению $f'(x_0)$.

а) Дана функция $f(x) = (x - 2)(x^2 + 2x + 4)$ и точка $x_0 = 3$.

В первую очередь упростим выражение для функции. Заметим, что это формула разности кубов: $(a - b)(a^2 + ab + b^2) = a^3 - b^3$.
$f(x) = x^3 - 2^3 = x^3 - 8$.

Теперь найдем производную функции $f(x)$:
$f'(x) = (x^3 - 8)' = 3x^2$.

Вычислим значение производной в точке $x_0 = 3$:
$f'(3) = 3 \cdot 3^2 = 3 \cdot 9 = 27$.

Ответ: 27.

б) Дана функция $f(x) = \cos^2 3x - \sin^2 3x$ и точка $x_0 = \frac{\pi}{6}$.

Упростим функцию, используя формулу косинуса двойного угла: $\cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha = \cos 2\alpha$.
$f(x) = \cos(2 \cdot 3x) = \cos(6x)$.

Находим производную сложной функции:
$f'(x) = (\cos(6x))' = -\sin(6x) \cdot (6x)' = -6\sin(6x)$.

Вычисляем значение производной в точке $x_0 = \frac{\pi}{6}$:
$f'(\frac{\pi}{6}) = -6\sin(6 \cdot \frac{\pi}{6}) = -6\sin(\pi) = -6 \cdot 0 = 0$.

Ответ: 0.

в) Дана функция $f(x) = (2x + 1)(4x^2 - 2x + 1)$ и точка $x_0 = -\frac{1}{2}$.

Упростим функцию, используя формулу суммы кубов: $(a + b)(a^2 - ab + b^2) = a^3 + b^3$.
$f(x) = (2x)^3 + 1^3 = 8x^3 + 1$.

Находим производную функции:
$f'(x) = (8x^3 + 1)' = 24x^2$.

Вычисляем значение производной в точке $x_0 = -\frac{1}{2}$:
$f'(-\frac{1}{2}) = 24 \cdot (-\frac{1}{2})^2 = 24 \cdot \frac{1}{4} = 6$.

Ответ: 6.

г) Дана функция $f(x) = \sin x \cdot \cos x \cdot \cos 2x$ и точка $x_0 = \frac{\pi}{4}$.

Упростим функцию, последовательно применяя формулу синуса двойного угла $\sin 2\alpha = 2\sin \alpha \cos \alpha$:
$f(x) = (\sin x \cos x) \cdot \cos 2x = \frac{1}{2}(2\sin x \cos x) \cdot \cos 2x = \frac{1}{2}\sin 2x \cdot \cos 2x$.
$f(x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}(2\sin 2x \cos 2x) = \frac{1}{4}\sin(4x)$.

Находим производную сложной функции:
$f'(x) = (\frac{1}{4}\sin(4x))' = \frac{1}{4}\cos(4x) \cdot (4x)' = \frac{1}{4} \cdot 4 \cdot \cos(4x) = \cos(4x)$.

Вычисляем значение производной в точке $x_0 = \frac{\pi}{4}$:
$f'(\frac{\pi}{4}) = \cos(4 \cdot \frac{\pi}{4}) = \cos(\pi) = -1$.

Ответ: -1.