Номер 43.13, страница 254, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

43.13. a) $f(x) = \arcsin 2x, k = 2$;

б) $f(x) = x - \arccos x, k = 2$;

в) $f(x) = 3 + \operatorname{arctg} x, k = \frac{1}{2}$;

г) $f(x) = \operatorname{arcctg} 3x, k = 3$.

а) Для нахождения значения $x$, при котором угловой коэффициент касательной к графику функции $f(x) = \arcsin(2x)$ равен $k=2$, необходимо найти производную функции и решить уравнение $f'(x) = k$.

1. Найдём производную функции $f(x) = \arcsin(2x)$. Это сложная функция, поэтому используем правило дифференцирования сложной функции $(f(g(x)))' = f'(g(x)) \cdot g'(x)$ и формулу производной арксинуса $(\arcsin u)' = \frac{1}{\sqrt{1-u^2}}$.
$f'(x) = (\arcsin(2x))' = \frac{1}{\sqrt{1-(2x)^2}} \cdot (2x)' = \frac{1}{\sqrt{1-4x^2}} \cdot 2 = \frac{2}{\sqrt{1-4x^2}}$.

2. Приравняем производную к заданному значению $k=2$:
$\frac{2}{\sqrt{1-4x^2}} = 2$.

3. Решим полученное уравнение:
$\frac{1}{\sqrt{1-4x^2}} = 1$
$\sqrt{1-4x^2} = 1$
Возведём обе части уравнения в квадрат:
$1 - 4x^2 = 1$
$4x^2 = 0$
$x = 0$.
Область определения производной: $1-4x^2 > 0$, что равносильно $x^2 < 1/4$, или $-\frac{1}{2} < x < \frac{1}{2}$. Значение $x=0$ входит в эту область.
Ответ: $x = 0$.

б) Для нахождения значения $x$, при котором угловой коэффициент касательной к графику функции $f(x) = x - \arccos x$ равен $k=2$, найдём производную функции и решим уравнение $f'(x) = k$.

1. Найдём производную функции $f(x) = x - \arccos x$. Используем формулу производной арккосинуса $(\arccos x)' = -\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$.
$f'(x) = (x - \arccos x)' = (x)' - (\arccos x)' = 1 - \left(-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\right) = 1 + \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$.

2. Приравняем производную к $k=2$:
$1 + \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} = 2$.

3. Решим уравнение:
$\frac{1}{\sqrt{1-x^2}} = 1$
$\sqrt{1-x^2} = 1$
Возведём обе части в квадрат:
$1 - x^2 = 1$
$x^2 = 0$
$x = 0$.
Область определения производной: $1-x^2 > 0$, что равносильно $x^2 < 1$, или $-1 < x < 1$. Значение $x=0$ входит в эту область.
Ответ: $x = 0$.

в) Для нахождения значения $x$, при котором угловой коэффициент касательной к графику функции $f(x) = 3 + \arctan x$ равен $k=\frac{1}{2}$, найдём производную функции и решим уравнение $f'(x) = k$.

1. Найдём производную функции $f(x) = 3 + \arctan x$. Используем формулу производной арктангенса $(\arctan x)' = \frac{1}{1+x^2}$.
$f'(x) = (3 + \arctan x)' = (3)' + (\arctan x)' = 0 + \frac{1}{1+x^2} = \frac{1}{1+x^2}$.

2. Приравняем производную к $k=\frac{1}{2}$:
$\frac{1}{1+x^2} = \frac{1}{2}$.

3. Решим уравнение:
$1 + x^2 = 2$
$x^2 = 1$
$x = \pm 1$.
Область определения производной — все действительные числа. Оба значения являются решениями.
Ответ: $x = -1; x = 1$.

г) Для нахождения значения $x$, при котором угловой коэффициент касательной к графику функции $f(x) = \text{arcctg } 3x$ равен $k=-3$, найдём производную функции и решим уравнение $f'(x) = k$.

1. Найдём производную функции $f(x) = \text{arcctg } 3x$. Это сложная функция, поэтому используем правило дифференцирования сложной функции и формулу производной арккотангенса $(\text{arcctg } u)' = -\frac{1}{1+u^2}$.
$f'(x) = (\text{arcctg}(3x))' = -\frac{1}{1+(3x)^2} \cdot (3x)' = -\frac{1}{1+9x^2} \cdot 3 = -\frac{3}{1+9x^2}$.

2. Приравняем производную к $k=-3$:
$-\frac{3}{1+9x^2} = -3$.

3. Решим уравнение:
$\frac{1}{1+9x^2} = 1$
$1 = 1 + 9x^2$
$9x^2 = 0$
$x = 0$.
Область определения производной — все действительные числа. Значение $x=0$ является решением.
Ответ: $x = 0$.