Номер 43.12, страница 254, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

Найдите ту точку графика функции $y = f(x)$, в которой угловой коэффициент касательной равен $k$:

43.12. а) $f(x) = 1.5x^2 - x + 1, k = 2;$

б) $f(x) = x + \frac{1}{x}, k = 3;$

в) $f(x) = x^3 - 2x^2 + x, k = 1;$

г) $f(x) = \frac{x}{2} + \frac{2}{x}, k = -3.$

Геометрический смысл производной заключается в том, что значение производной функции $f(x)$ в точке $x_0$ равно угловому коэффициенту $k$ касательной к графику функции в этой точке. То есть, $k = f'(x_0)$. Чтобы найти искомую точку $(x_0, y_0)$, нужно:

1. Найти производную функции $f'(x)$.
2. Решить уравнение $f'(x) = k$, чтобы найти абсциссу точки касания $x_0$.
3. Вычислить ординату точки касания $y_0 = f(x_0)$.

а) Дана функция $f(x) = 1,5x^2 - x + 1$ и угловой коэффициент $k=2$.

1. Находим производную функции:

$f'(x) = (1,5x^2 - x + 1)' = 1,5 \cdot 2x - 1 = 3x - 1$.

2. Приравниваем производную к заданному угловому коэффициенту $k=2$ и решаем уравнение относительно $x$:

$3x - 1 = 2$

$3x = 3$

$x = 1$.

3. Находим ординату точки, подставив найденное значение $x=1$ в исходную функцию:

$y = f(1) = 1,5(1)^2 - 1 + 1 = 1,5 - 1 + 1 = 1,5$.

Искомая точка имеет координаты $(1; 1,5)$.

Ответ: $(1; 1,5)$.

б) Дана функция $f(x) = x + \frac{1}{x}$ и угловой коэффициент $k=3$.

1. Находим производную функции. Для удобства запишем функцию как $f(x) = x + x^{-1}$:

$f'(x) = (x + x^{-1})' = 1 - 1 \cdot x^{-2} = 1 - \frac{1}{x^2}$.

2. Приравниваем производную к $k=3$:

$1 - \frac{1}{x^2} = 3$

$-\frac{1}{x^2} = 2$

$x^2 = -\frac{1}{2}$.

3. Данное уравнение не имеет действительных корней, так как квадрат любого действительного числа не может быть отрицательным. Следовательно, на графике данной функции нет точек, в которых угловой коэффициент касательной равен 3.

Ответ: таких точек не существует.

в) Дана функция $f(x) = x^3 - 2x^2 + x$ и угловой коэффициент $k=1$.

1. Находим производную функции:

$f'(x) = (x^3 - 2x^2 + x)' = 3x^2 - 4x + 1$.

2. Приравниваем производную к $k=1$:

$3x^2 - 4x + 1 = 1$

$3x^2 - 4x = 0$

$x(3x - 4) = 0$.

Уравнение имеет два корня: $x_1 = 0$ и $x_2 = \frac{4}{3}$.

3. Находим ординаты для каждого значения $x$:

При $x_1 = 0$:

$y_1 = f(0) = 0^3 - 2(0)^2 + 0 = 0$.

Первая точка: $(0; 0)$.

При $x_2 = \frac{4}{3}$:

$y_2 = f(\frac{4}{3}) = (\frac{4}{3})^3 - 2(\frac{4}{3})^2 + \frac{4}{3} = \frac{64}{27} - 2 \cdot \frac{16}{9} + \frac{4}{3} = \frac{64}{27} - \frac{32}{9} + \frac{4}{3} = \frac{64 - 96 + 36}{27} = \frac{4}{27}$.

Вторая точка: $(\frac{4}{3}; \frac{4}{27})$.

Ответ: $(0; 0)$ и $(\frac{4}{3}; \frac{4}{27})$.

г) Дана функция $f(x) = \frac{x}{2} + \frac{2}{x}$ и угловой коэффициент $k=-3$.

1. Находим производную функции. Запишем функцию как $f(x) = \frac{1}{2}x + 2x^{-1}$:

$f'(x) = (\frac{1}{2}x + 2x^{-1})' = \frac{1}{2} - 2x^{-2} = \frac{1}{2} - \frac{2}{x^2}$.

2. Приравниваем производную к $k=-3$:

$\frac{1}{2} - \frac{2}{x^2} = -3$

$-\frac{2}{x^2} = -3 - \frac{1}{2}$

$-\frac{2}{x^2} = -\frac{7}{2}$

$x^2 = \frac{4}{7}$.

Уравнение имеет два корня: $x_1 = \sqrt{\frac{4}{7}} = \frac{2}{\sqrt{7}}$ и $x_2 = -\sqrt{\frac{4}{7}} = -\frac{2}{\sqrt{7}}$.

3. Находим ординаты для каждого значения $x$:

При $x_1 = \frac{2}{\sqrt{7}}$:

$y_1 = f(\frac{2}{\sqrt{7}}) = \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{\sqrt{7}} + \frac{2}{\frac{2}{\sqrt{7}}} = \frac{1}{\sqrt{7}} + \sqrt{7} = \frac{1+7}{\sqrt{7}} = \frac{8}{\sqrt{7}}$.

Первая точка: $(\frac{2}{\sqrt{7}}; \frac{8}{\sqrt{7}})$.

При $x_2 = -\frac{2}{\sqrt{7}}$:

$y_2 = f(-\frac{2}{\sqrt{7}}) = \frac{1}{2} \cdot (-\frac{2}{\sqrt{7}}) + \frac{2}{-\frac{2}{\sqrt{7}}} = -\frac{1}{\sqrt{7}} - \sqrt{7} = -\frac{1+7}{\sqrt{7}} = -\frac{8}{\sqrt{7}}$.

Вторая точка: $(-\frac{2}{\sqrt{7}}; -\frac{8}{\sqrt{7}})$.

Ответ: $(\frac{2}{\sqrt{7}}; \frac{8}{\sqrt{7}})$ и $(-\frac{2}{\sqrt{7}}; -\frac{8}{\sqrt{7}})$.