Номер 43.18, страница 255, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

43.18. a) $f(x) = \sqrt{6x + 7}$, $a = 3\frac{1}{3}$;

б) $f(x) = \sqrt{5 - 2x}$, $a = 2$?

а)

Задача состоит в том, чтобы найти такое значение $x$, при котором значение функции $f(x)$ равно $a$. Для этого приравняем выражение для функции к заданному значению $a$ и решим полученное уравнение.
$f(x) = \sqrt{6x + 7}$, $a = 3\frac{1}{3}$.
Составим уравнение:
$\sqrt{6x + 7} = 3\frac{1}{3}$
Сначала преобразуем смешанное число $3\frac{1}{3}$ в неправильную дробь:
$3\frac{1}{3} = \frac{3 \cdot 3 + 1}{3} = \frac{10}{3}$
Уравнение принимает вид:
$\sqrt{6x + 7} = \frac{10}{3}$
Чтобы избавиться от квадратного корня, возведем обе части уравнения в квадрат. При этом необходимо помнить, что выражение под корнем должно быть неотрицательным, то есть $6x + 7 \ge 0$, откуда $x \ge -\frac{7}{6}$.
$(\sqrt{6x + 7})^2 = (\frac{10}{3})^2$
$6x + 7 = \frac{100}{9}$
Теперь решим это линейное уравнение:
$6x = \frac{100}{9} - 7$
$6x = \frac{100}{9} - \frac{63}{9}$
$6x = \frac{37}{9}$
$x = \frac{37}{9 \cdot 6} = \frac{37}{54}$
Проверим, соответствует ли найденное значение области допустимых значений: $x \ge -\frac{7}{6}$.
Так как $\frac{37}{54}$ — положительное число, а $-\frac{7}{6}$ — отрицательное, условие $\frac{37}{54} \ge -\frac{7}{6}$ выполняется.
Ответ: $x = \frac{37}{54}$.

б)

Аналогично предыдущему пункту, решим уравнение $f(x) = a$.
$f(x) = \sqrt{5 - 2x}$, $a = 2$.
Составим уравнение:
$\sqrt{5 - 2x} = 2$
Область допустимых значений для этого уравнения определяется условием $5 - 2x \ge 0$, то есть $5 \ge 2x$, или $x \le 2.5$.
Возведем обе части уравнения в квадрат:
$(\sqrt{5 - 2x})^2 = 2^2$
$5 - 2x = 4$
Решим полученное уравнение:
$-2x = 4 - 5$
$-2x = -1$
$x = \frac{-1}{-2} = \frac{1}{2}$
Проверим, удовлетворяет ли корень $x = \frac{1}{2}$ условию $x \le 2.5$.
$0.5 \le 2.5$. Условие выполняется.
Ответ: $x = \frac{1}{2}$.