Номер 43.20, страница 255, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

43.20. a) $f(x) = \operatorname{tg} x + \sin \frac{x}{3}, a = 3\pi;$

б) $f(x) = \cos x + \operatorname{ctg} \frac{x}{2}, a = \frac{\pi}{3}?$

а)

Задана функция $f(x) = \tg x + \sin\frac{x}{3}$. Чтобы найти основной (наименьший положительный) период функции $f(x)$, которая является суммой двух периодических функций $g(x) = \tg x$ и $h(x) = \sin\frac{x}{3}$, нужно найти наименьшее общее кратное (НОК) их основных периодов.

1. Найдем основной период функции $g(x) = \tg x$.
Основной период функции тангенса $\tg(kx)$ равен $T = \frac{\pi}{|k|}$. В данном случае $k=1$, поэтому период $T_1$ для $g(x)$ равен: $T_1 = \frac{\pi}{1} = \pi$.

2. Найдем основной период функции $h(x) = \sin\frac{x}{3}$.
Основной период функции синуса $\sin(kx)$ равен $T = \frac{2\pi}{|k|}$. В данном случае $k=\frac{1}{3}$, поэтому период $T_2$ для $h(x)$ равен: $T_2 = \frac{2\pi}{1/3} = 6\pi$.

3. Найдем основной период $T$ функции $f(x)$.
Период $T$ является наименьшим общим кратным периодов $T_1$ и $T_2$. $T = \text{НОК}(T_1, T_2) = \text{НОК}(\pi, 6\pi)$. Поскольку $6\pi$ является кратным $\pi$ ($6\pi = 6 \cdot \pi$), то НОК этих двух периодов равно $6\pi$. $T = 6\pi$.

В условии дано значение $a = 3\pi$. Проверим, является ли это число периодом функции. Для этого должно выполняться равенство $f(x+a)=f(x)$ для всех $x$ из области определения функции. $f(x + 3\pi) = \tg(x + 3\pi) + \sin\frac{x + 3\pi}{3} = \tg(x) + \sin(\frac{x}{3} + \pi)$. Используя формулу приведения $\sin(\alpha + \pi) = -\sin\alpha$, получаем: $f(x + 3\pi) = \tg(x) - \sin\frac{x}{3}$. Так как $f(x+3\pi) \neq f(x)$, число $a=3\pi$ не является периодом функции.

Ответ: наименьший положительный период функции равен $6\pi$.

б)

Задана функция $f(x) = \cos x + \ctg\frac{x}{2}$. Это сумма двух периодических функций: $g(x) = \cos x$ и $h(x) = \ctg\frac{x}{2}$. Найдем их основные периоды, чтобы определить основной период функции $f(x)$.

1. Найдем основной период функции $g(x) = \cos x$.
Основной период функции косинуса $\cos(kx)$ равен $T = \frac{2\pi}{|k|}$. В данном случае $k=1$, поэтому период $T_1$ для $g(x)$ равен: $T_1 = \frac{2\pi}{1} = 2\pi$.

2. Найдем основной период функции $h(x) = \ctg\frac{x}{2}$.
Основной период функции котангенса $\ctg(kx)$ равен $T = \frac{\pi}{|k|}$. В данном случае $k=\frac{1}{2}$, поэтому период $T_2$ для $h(x)$ равен: $T_2 = \frac{\pi}{1/2} = 2\pi$.

3. Найдем основной период $T$ функции $f(x)$.
Период $T$ является наименьшим общим кратным периодов $T_1$ и $T_2$. $T = \text{НОК}(T_1, T_2) = \text{НОК}(2\pi, 2\pi) = 2\pi$.

Вопрос "$a = \pi/3$?" можно интерпретировать как проверку, является ли число $a = \frac{\pi}{3}$ периодом данной функции. Проверим, выполняется ли равенство $f(x+a)=f(x)$ для всех $x$ из области определения. $f(x + \frac{\pi}{3}) = \cos(x + \frac{\pi}{3}) + \ctg\left(\frac{x + \pi/3}{2}\right) = \cos(x + \frac{\pi}{3}) + \ctg(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{6})$. Данное выражение не равно исходной функции $f(x) = \cos x + \ctg\frac{x}{2}$. Чтобы это показать, достаточно привести один контрпример. Возьмем значение $x = \frac{\pi}{2}$ (которое входит в область определения функции). $f(\frac{\pi}{2}) = \cos(\frac{\pi}{2}) + \ctg(\frac{\pi/2}{2}) = \cos(\frac{\pi}{2}) + \ctg(\frac{\pi}{4}) = 0 + 1 = 1$. Теперь вычислим $f(\frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{3}) = f(\frac{5\pi}{6})$: $f(\frac{5\pi}{6}) = \cos(\frac{5\pi}{6}) + \ctg(\frac{5\pi/6}{2}) = \cos(\frac{5\pi}{6}) + \ctg(\frac{5\pi}{12}) = -\frac{\sqrt{3}}{2} + (2-\sqrt{3}) = 2 - \frac{3\sqrt{3}}{2}$. Так как $1 \neq 2 - \frac{3\sqrt{3}}{2}$, то $f(\frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{3}) \neq f(\frac{\pi}{2})$. Следовательно, число $a=\frac{\pi}{3}$ не является периодом функции.

Ответ: наименьший положительный период функции равен $2\pi$.