Номер 43.26, страница 256, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

43.26. a) $f(x) = \arccos 3x + 2x, a = 0;$

б) $f(x) = 3x^2 - 0,2 \arcsin 5x, a = 0;$

в) $f(x) = 2 \operatorname{arctg} x + 3\sqrt{x}, a = 1;$

г) $f(x) = \frac{1}{x} - 5 \operatorname{arcctg} 2x, a = 1.$

а) $f(x) = \arccos{3x} + 2x, a = 0$

Для решения задачи необходимо найти производную функции $f(x)$ и вычислить её значение в точке $a=0$.

Производная суммы функций равна сумме производных:

$f'(x) = (\arccos{3x})' + (2x)'$

Используем формулы производных: $(\arccos u)' = -\frac{u'}{\sqrt{1-u^2}}$ и $(cx)' = c$.

Для слагаемого $\arccos{3x}$, имеем $u=3x$, тогда $u'=3$. Производная будет равна:

$(\arccos{3x})' = -\frac{3}{\sqrt{1-(3x)^2}} = -\frac{3}{\sqrt{1-9x^2}}$

Производная второго слагаемого: $(2x)' = 2$.

Таким образом, производная всей функции:

$f'(x) = -\frac{3}{\sqrt{1-9x^2}} + 2$

Теперь вычислим значение производной в точке $a=0$:

$f'(0) = -\frac{3}{\sqrt{1-9 \cdot 0^2}} + 2 = -\frac{3}{\sqrt{1-0}} + 2 = -\frac{3}{1} + 2 = -1$

Ответ: -1

б) $f(x) = 3x^2 - 0,2 \arcsin{5x}, a = 0$

Найдём производную функции $f(x)$ и вычислим её значение в точке $a=0$.

$f'(x) = (3x^2)' - (0,2 \arcsin{5x})'$

Используем формулы производных: $(x^n)'=nx^{n-1}$ и $(\arcsin u)' = \frac{u'}{\sqrt{1-u^2}}$.

Производная первого слагаемого: $(3x^2)' = 3 \cdot 2x = 6x$.

Для второго слагаемого $0,2 \arcsin{5x}$, имеем $u=5x$, тогда $u'=5$. Производная будет равна:

$(0,2 \arcsin{5x})' = 0,2 \cdot \frac{5}{\sqrt{1-(5x)^2}} = \frac{1}{\sqrt{1-25x^2}}$

Таким образом, производная всей функции:

$f'(x) = 6x - \frac{1}{\sqrt{1-25x^2}}$

Теперь вычислим значение производной в точке $a=0$:

$f'(0) = 6 \cdot 0 - \frac{1}{\sqrt{1-25 \cdot 0^2}} = 0 - \frac{1}{\sqrt{1}} = -1$

Ответ: -1

в) $f(x) = 2 \operatorname{arctg} x + 3\sqrt{x}, a = 1$

Найдём производную функции $f(x)$ и вычислим её значение в точке $a=1$. Представим $\sqrt{x}$ как $x^{1/2}$.

$f'(x) = (2 \operatorname{arctg} x)' + (3x^{1/2})'$

Используем формулы производных: $(\operatorname{arctg} x)' = \frac{1}{1+x^2}$ и $(x^n)'=nx^{n-1}$.

Производная первого слагаемого: $(2 \operatorname{arctg} x)' = 2 \cdot \frac{1}{1+x^2} = \frac{2}{1+x^2}$.

Производная второго слагаемого: $(3x^{1/2})' = 3 \cdot \frac{1}{2}x^{1/2-1} = \frac{3}{2}x^{-1/2} = \frac{3}{2\sqrt{x}}$.

Таким образом, производная всей функции:

$f'(x) = \frac{2}{1+x^2} + \frac{3}{2\sqrt{x}}$

Теперь вычислим значение производной в точке $a=1$:

$f'(1) = \frac{2}{1+1^2} + \frac{3}{2\sqrt{1}} = \frac{2}{2} + \frac{3}{2} = 1 + \frac{3}{2} = \frac{5}{2} = 2,5$

Ответ: 2,5

г) $f(x) = \frac{1}{x} - 5 \operatorname{arcctg} 2x, a = 1$

Найдём производную функции $f(x)$ и вычислим её значение в точке $a=1$. Представим $\frac{1}{x}$ как $x^{-1}$.

$f'(x) = (x^{-1})' - (5 \operatorname{arcctg} 2x)'$

Используем формулы производных: $(x^n)'=nx^{n-1}$ и $(\operatorname{arcctg} u)' = -\frac{u'}{1+u^2}$.

Производная первого слагаемого: $(x^{-1})' = -1 \cdot x^{-2} = -\frac{1}{x^2}$.

Для второго слагаемого $5 \operatorname{arcctg} 2x$, имеем $u=2x$, тогда $u'=2$. Производная будет равна:

$(5 \operatorname{arcctg} 2x)' = 5 \cdot \left(-\frac{2}{1+(2x)^2}\right) = -\frac{10}{1+4x^2}$

Таким образом, производная всей функции:

$f'(x) = -\frac{1}{x^2} - \left(-\frac{10}{1+4x^2}\right) = -\frac{1}{x^2} + \frac{10}{1+4x^2}$

Теперь вычислим значение производной в точке $a=1$:

$f'(1) = -\frac{1}{1^2} + \frac{10}{1+4 \cdot 1^2} = -1 + \frac{10}{1+4} = -1 + \frac{10}{5} = -1 + 2 = 1$

Ответ: 1