Номер 43.28, страница 256, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

43.28. а) $f(x) = \begin{cases} x^2 + 2x, & \text{если } x \geq -3 \\ -2x - 3, & \text{если } x < -3 \end{cases}$, $a = -2$;

б) $f(x) = |x^2 - 3x|$, $a = 4$;

в) $f(x) = \begin{cases} 4x - x^2, & \text{если } x \geq 0 \\ -4x, & \text{если } x < 0 \end{cases}$, $a = 1$;

г) $f(x) = x^2 - 7|x| + 10$, $a = -1$.

а)

Задана функция $f(x) = \begin{cases} x^2 + 2x, & \text{если } x \ge -3 \\ -2x - 3, & \text{если } x < -3 \end{cases}$ и значение $a = -2$. Требуется решить уравнение $f(x) = a$, то есть $f(x) = -2$. Рассмотрим два случая, в зависимости от значения $x$.

1. Если $x \ge -3$, то уравнение принимает вид:
$x^2 + 2x = -2$
$x^2 + 2x + 2 = 0$
Найдем дискриминант этого квадратного уравнения: $D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 4 - 8 = -4$.
Так как $D < 0$, действительных корней в этом случае нет.

2. Если $x < -3$, то уравнение принимает вид:
$-2x - 3 = -2$
$-2x = 1$
$x = -\frac{1}{2}$
Проверим, удовлетворяет ли найденный корень условию $x < -3$.
Поскольку $-\frac{1}{2} > -3$, этот корень не удовлетворяет условию $x < -3$.

Таким образом, уравнение $f(x) = -2$ не имеет решений.

Ответ: решений нет.

б)

Задана функция $f(x) = |x^2 - 3x|$ и значение $a = 4$. Требуется решить уравнение $f(x) = a$, то есть $|x^2 - 3x| = 4$. Это уравнение равносильно совокупности двух уравнений:

1) $x^2 - 3x = 4$
$x^2 - 3x - 4 = 0$
По теореме Виета, сумма корней равна 3, а их произведение равно -4. Отсюда находим корни: $x_1 = 4$ и $x_2 = -1$.

2) $x^2 - 3x = -4$
$x^2 - 3x + 4 = 0$
Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 9 - 16 = -7$.
Так как $D < 0$, действительных корней в этом случае нет.

Следовательно, решениями исходного уравнения являются $x=4$ и $x=-1$.

Ответ: $-1; 4$.

в)

Задана функция $f(x) = \begin{cases} 4x - x^2, & \text{если } x \ge 0 \\ -4x, & \text{если } x < 0 \end{cases}$ и значение $a = 1$. Требуется решить уравнение $f(x) = a$, то есть $f(x) = 1$. Рассмотрим два случая.

1. Если $x \ge 0$, уравнение принимает вид:
$4x - x^2 = 1$
$x^2 - 4x + 1 = 0$
Решим это квадратное уравнение по формуле корней:
$x = \frac{-(-4) \pm \sqrt{(-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1} = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4}}{2} = \frac{4 \pm \sqrt{12}}{2} = \frac{4 \pm 2\sqrt{3}}{2} = 2 \pm \sqrt{3}$.
Получаем два корня: $x_1 = 2 + \sqrt{3}$ и $x_2 = 2 - \sqrt{3}$.
Оба корня удовлетворяют условию $x \ge 0$, так как $2 + \sqrt{3} > 0$ и $2 - \sqrt{3} > 0$ (поскольку $4 > 3 \implies 2 > \sqrt{3}$).

2. Если $x < 0$, уравнение принимает вид:
$-4x = 1$
$x = -\frac{1}{4}$
Этот корень удовлетворяет условию $x < 0$.

Таким образом, уравнение $f(x) = 1$ имеет три корня.

Ответ: $-\frac{1}{4}; 2 - \sqrt{3}; 2 + \sqrt{3}$.

г)

Задана функция $f(x) = x^2 - 7|x| + 10$ и значение $a = -1$. Требуется решить уравнение $f(x) = a$, то есть $x^2 - 7|x| + 10 = -1$.

$x^2 - 7|x| + 11 = 0$
Поскольку $x^2 = |x|^2$, уравнение можно переписать как:
$|x|^2 - 7|x| + 11 = 0$
Сделаем замену $y = |x|$, где $y \ge 0$. Получим квадратное уравнение относительно $y$:
$y^2 - 7y + 11 = 0$
Найдем корни этого уравнения:
$y = \frac{-(-7) \pm \sqrt{(-7)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 11}}{2 \cdot 1} = \frac{7 \pm \sqrt{49 - 44}}{2} = \frac{7 \pm \sqrt{5}}{2}$.
Оба корня, $y_1 = \frac{7 + \sqrt{5}}{2}$ и $y_2 = \frac{7 - \sqrt{5}}{2}$, являются положительными, так как $7 > \sqrt{5}$.

Теперь вернемся к переменной $x$, решив уравнения $|x| = y_1$ и $|x| = y_2$.
1. $|x| = \frac{7 + \sqrt{5}}{2} \implies x = \pm \frac{7 + \sqrt{5}}{2}$.
2. $|x| = \frac{7 - \sqrt{5}}{2} \implies x = \pm \frac{7 - \sqrt{5}}{2}$.
В итоге мы получили четыре различных корня.

Ответ: $\pm \frac{7 - \sqrt{5}}{2}; \pm \frac{7 + \sqrt{5}}{2}$.