Номер 43.34, страница 257, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

В какой точке графика заданной функции $y = f(x)$ касательная параллельна заданной прямой:

43.34. a) $y = 3 + x$, $f(x) = \frac{x^3}{3} - 3x^2 + 10x - 4$;

б) $y = 0$, $f(x) = \frac{x^4}{4} - x^2 + 8$;

в) $y = x - 3$, $f(x) = \frac{x^3}{3} - x^2 + 2x - 7$;

г) $y = 2$, $f(x) = \frac{5}{4}x^4 - x^3 + 6?

а) Условие параллельности касательной к графику функции $y = f(x)$ и прямой $y = kx + b$ состоит в равенстве их угловых коэффициентов. Угловой коэффициент касательной в точке с абсциссой $x_0$ равен значению производной $f'(x_0)$, а угловой коэффициент заданной прямой $y = 3 + x$ (или $y=x+3$) равен $k=1$.
Найдем производную функции $f(x) = \frac{x^3}{3} - 3x^2 + 10x - 4$:
$f'(x) = (\frac{x^3}{3})' - (3x^2)' + (10x)' - (4)' = x^2 - 6x + 10$.
Приравняем производную к угловому коэффициенту прямой, чтобы найти абсциссу $x_0$ точки касания:
$f'(x_0) = 1$
$x_0^2 - 6x_0 + 10 = 1$
$x_0^2 - 6x_0 + 9 = 0$
$(x_0 - 3)^2 = 0$
$x_0 = 3$.
Теперь найдем ординату $y_0$, подставив $x_0 = 3$ в исходную функцию:
$y_0 = f(3) = \frac{3^3}{3} - 3 \cdot 3^2 + 10 \cdot 3 - 4 = 9 - 27 + 30 - 4 = 8$.
Искомая точка имеет координаты $(3, 8)$.
Ответ: $(3, 8)$.

б) Касательная к графику функции $f(x)$ должна быть параллельна прямой $y=0$. Прямая $y=0$ — это ось абсцисс, ее угловой коэффициент $k=0$. Условие параллельности — равенство углового коэффициента касательной, $f'(x_0)$, и углового коэффициента прямой, $k=0$.
Дана функция $f(x) = \frac{x^4}{4} - x^2 + 8$.
Найдем ее производную:
$f'(x) = (\frac{x^4}{4})' - (x^2)' + (8)' = \frac{4x^3}{4} - 2x = x^3 - 2x$.
Приравняем производную к нулю, чтобы найти абсциссы $x_0$ точек касания:
$f'(x_0) = 0$
$x_0^3 - 2x_0 = 0$
$x_0(x_0^2 - 2) = 0$
Отсюда получаем три возможных значения для $x_0$: $x_0 = 0$, $x_0 = \sqrt{2}$, $x_0 = -\sqrt{2}$.
Теперь найдем соответствующие ординаты $y_0$ для каждой абсциссы:
При $x_0 = 0$: $y_0 = f(0) = \frac{0^4}{4} - 0^2 + 8 = 8$. Точка: $(0, 8)$.
При $x_0 = \sqrt{2}$: $y_0 = f(\sqrt{2}) = \frac{(\sqrt{2})^4}{4} - (\sqrt{2})^2 + 8 = \frac{4}{4} - 2 + 8 = 1 - 2 + 8 = 7$. Точка: $(\sqrt{2}, 7)$.
При $x_0 = -\sqrt{2}$: $y_0 = f(-\sqrt{2}) = \frac{(-\sqrt{2})^4}{4} - (-\sqrt{2})^2 + 8 = \frac{4}{4} - 2 + 8 = 7$. Точка: $(-\sqrt{2}, 7)$.
Ответ: $(0, 8)$, $(\sqrt{2}, 7)$, $(-\sqrt{2}, 7)$.

в) Касательная к графику функции $f(x)$ должна быть параллельна прямой $y = x - 3$. Угловой коэффициент этой прямой $k=1$.
Дана функция $f(x) = \frac{x^3}{3} - x^2 + 2x - 7$.
Найдем ее производную:
$f'(x) = (\frac{x^3}{3})' - (x^2)' + (2x)' - (7)' = x^2 - 2x + 2$.
Приравняем производную к угловому коэффициенту прямой, чтобы найти абсциссу $x_0$ точки касания:
$f'(x_0) = 1$
$x_0^2 - 2x_0 + 2 = 1$
$x_0^2 - 2x_0 + 1 = 0$
$(x_0 - 1)^2 = 0$
$x_0 = 1$.
Найдем ординату $y_0$, подставив $x_0=1$ в исходную функцию:
$y_0 = f(1) = \frac{1^3}{3} - 1^2 + 2(1) - 7 = \frac{1}{3} - 1 + 2 - 7 = \frac{1}{3} - 6 = \frac{1 - 18}{3} = -\frac{17}{3}$.
Искомая точка: $(1, -17/3)$.
Ответ: $(1, -\frac{17}{3})$.

г) Касательная к графику функции $f(x)$ должна быть параллельна прямой $y=2$. Прямая $y=2$ — это горизонтальная прямая, ее угловой коэффициент $k=0$.
Дана функция $f(x) = \frac{5}{4}x^4 - x^3 + 6$.
Найдем ее производную:
$f'(x) = (\frac{5}{4}x^4)' - (x^3)' + (6)' = \frac{5}{4} \cdot 4x^3 - 3x^2 = 5x^3 - 3x^2$.
Приравняем производную к нулю, чтобы найти абсциссы $x_0$ точек касания:
$f'(x_0) = 0$
$5x_0^3 - 3x_0^2 = 0$
$x_0^2(5x_0 - 3) = 0$
Отсюда получаем два возможных значения для $x_0$: $x_0 = 0$ и $x_0 = \frac{3}{5}$.
Теперь найдем соответствующие ординаты $y_0$ для каждой абсциссы:
При $x_0 = 0$: $y_0 = f(0) = \frac{5}{4}(0)^4 - 0^3 + 6 = 6$. Точка: $(0, 6)$.
При $x_0 = \frac{3}{5}$: $y_0 = f(\frac{3}{5}) = \frac{5}{4}(\frac{3}{5})^4 - (\frac{3}{5})^3 + 6 = \frac{5}{4} \cdot \frac{81}{625} - \frac{27}{125} + 6 = \frac{81}{500} - \frac{27 \cdot 4}{500} + 6 = \frac{81-108}{500} + 6 = -\frac{27}{500} + \frac{3000}{500} = \frac{2973}{500}$. Точка: $(\frac{3}{5}, \frac{2973}{500})$.
Ответ: $(0, 6)$, $(\frac{3}{5}, \frac{2973}{500})$.