Номер 43.38, страница 257, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

43.38. a) $y = \frac{3x + 7}{x - 3}$

б) $y = \frac{x + 9}{x + 8}$

Дана функция $y = \frac{3x + 7}{x - 3}$. Это дробно-линейная функция, графиком которой является гипербола. Чтобы дать развернутый ответ, найдем ее область определения и область значений.

Поиск области определения ($D(y)$)

Область определения функции — это множество всех допустимых значений аргумента $x$. Для данной функции единственное ограничение состоит в том, что знаменатель дроби не может быть равен нулю.
$x - 3 \neq 0$
$x \neq 3$
Таким образом, функция определена для всех действительных чисел, кроме $x=3$. Прямая $x=3$ является вертикальной асимптотой графика.
Запишем область определения в виде объединения интервалов: $D(y) = (-\infty; 3) \cup (3; +\infty)$.

Поиск области значений ($E(y)$)

Чтобы найти область значений, удобнее всего преобразовать исходное выражение, выделив в нем целую часть. Для этого представим числитель $3x + 7$ таким образом, чтобы в нем содержалось выражение из знаменателя $(x-3)$:
$3x + 7 = 3x - 9 + 9 + 7 = 3(x - 3) + 16$.
Теперь подставим полученное выражение обратно в функцию:
$y = \frac{3(x-3) + 16}{x - 3} = \frac{3(x - 3)}{x - 3} + \frac{16}{x - 3} = 3 + \frac{16}{x - 3}$.
Из полученной формы $y = 3 + \frac{16}{x - 3}$ видно, что второе слагаемое, дробь $\frac{16}{x - 3}$, может принимать любое значение, кроме нуля (так как числитель $16 \neq 0$). Следовательно, значение $y$ может быть любым, кроме $y=3$. Прямая $y=3$ является горизонтальной асимптотой.
Запишем область значений в виде объединения интервалов: $E(y) = (-\infty; 3) \cup (3; +\infty)$.

Ответ: область определения $D(y) = (-\infty; 3) \cup (3; +\infty)$, область значений $E(y) = (-\infty; 3) \cup (3; +\infty)$.

Рассмотрим функцию $y = \frac{x + 9}{x + 8}$. Аналогично предыдущему пункту, найдем ее область определения и область значений.

Поиск области определения ($D(y)$)

Знаменатель дроби не должен обращаться в ноль:
$x + 8 \neq 0$
$x \neq -8$
Следовательно, область определения — это все действительные числа, кроме $-8$. Прямая $x=-8$ является вертикальной асимптотой.
$D(y) = (-\infty; -8) \cup (-8; +\infty)$.

Поиск области значений ($E(y)$)

Выделим целую часть, представив числитель $x+9$ через знаменатель $x+8$:
$x+9 = (x+8) + 1$.
Подставим это в функцию:
$y = \frac{(x+8) + 1}{x + 8} = \frac{x+8}{x+8} + \frac{1}{x+8} = 1 + \frac{1}{x+8}$.
Из выражения $y = 1 + \frac{1}{x+8}$ видно, что дробь $\frac{1}{x+8}$ не может быть равна нулю. Таким образом, $y$ не может принимать значение, равное 1. Прямая $y=1$ является горизонтальной асимптотой.
Область значений функции: $E(y) = (-\infty; 1) \cup (1; +\infty)$.

Ответ: область определения $D(y) = (-\infty; -8) \cup (-8; +\infty)$, область значений $E(y) = (-\infty; 1) \cup (1; +\infty)$.