Номер 43.43, страница 258, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

43.43. a) Вычислите координаты точек пересечения с осью y тех касательных к графику функции $y = \frac{3x - 1}{x + 8}$, которые образуют угол 45° с осью x.

б) Вычислите координаты точек пересечения с осью y тех касательных к графику функции $y = \frac{x + 4}{x - 5}$, которые образуют угол 135° с осью x.

a)

Угловой коэффициент $k$ касательной к графику функции в точке $x_0$ равен значению производной функции в этой точке, $k = y'(x_0)$. Также угловой коэффициент равен тангенсу угла $\alpha$, который касательная образует с положительным направлением оси Ox: $k = \tan(\alpha)$.

По условию, касательные образуют угол 45° с осью $x$, следовательно, их угловой коэффициент равен $k = \tan(45^\circ) = 1$.

Найдем производную функции $y = \frac{3x - 1}{x + 8}$ по правилу дифференцирования частного:
$y' = \left(\frac{3x - 1}{x + 8}\right)' = \frac{(3x - 1)'(x + 8) - (3x - 1)(x + 8)'}{(x + 8)^2} = \frac{3(x + 8) - (3x - 1) \cdot 1}{(x + 8)^2} = \frac{3x + 24 - 3x + 1}{(x + 8)^2} = \frac{25}{(x + 8)^2}$.

Чтобы найти абсциссы $x_0$ точек касания, приравняем производную к угловому коэффициенту $k=1$:
$\frac{25}{(x_0 + 8)^2} = 1$
$(x_0 + 8)^2 = 25$
Отсюда находим два значения для $x_0$:
$x_0 + 8 = 5 \implies x_0 = -3$
$x_0 + 8 = -5 \implies x_0 = -13$

Найдем соответствующие ординаты точек касания $y_0 = y(x_0)$:
При $x_0 = -3$, $y_0 = \frac{3(-3) - 1}{-3 + 8} = \frac{-10}{5} = -2$. Точка касания: $M_1(-3, -2)$.
При $x_0 = -13$, $y_0 = \frac{3(-13) - 1}{-13 + 8} = \frac{-40}{-5} = 8$. Точка касания: $M_2(-13, 8)$.

Составим уравнения касательных, используя формулу $y = k(x - x_0) + y_0$:
1. Для точки $M_1(-3, -2)$: $y = 1(x - (-3)) + (-2) = x + 3 - 2 = x + 1$.
2. Для точки $M_2(-13, 8)$: $y = 1(x - (-13)) + 8 = x + 13 + 8 = x + 21$.

Для нахождения координат точек пересечения касательных с осью $y$, подставим $x = 0$ в их уравнения:
1. $y = 0 + 1 = 1$. Точка пересечения $(0, 1)$.
2. $y = 0 + 21 = 21$. Точка пересечения $(0, 21)$.

Ответ: $(0, 1)$ и $(0, 21)$.

б)

Угол наклона касательных к оси $x$ составляет 135°. Угловой коэффициент $k$ этих касательных: $k = \tan(135^\circ) = -1$.

Найдем производную функции $y = \frac{x + 4}{x - 5}$:
$y' = \left(\frac{x + 4}{x - 5}\right)' = \frac{(x + 4)'(x - 5) - (x + 4)(x - 5)'}{(x - 5)^2} = \frac{1(x - 5) - (x + 4) \cdot 1}{(x - 5)^2} = \frac{x - 5 - x - 4}{(x - 5)^2} = \frac{-9}{(x - 5)^2}$.

Найдем абсциссы точек касания $x_0$, решив уравнение $y'(x_0) = k$:
$\frac{-9}{(x_0 - 5)^2} = -1$
$(x_0 - 5)^2 = 9$
Находим два значения $x_0$:
$x_0 - 5 = 3 \implies x_0 = 8$
$x_0 - 5 = -3 \implies x_0 = 2$

Найдем соответствующие ординаты точек касания $y_0 = y(x_0)$:
При $x_0 = 8$, $y_0 = \frac{8 + 4}{8 - 5} = \frac{12}{3} = 4$. Точка касания: $M_1(8, 4)$.
При $x_0 = 2$, $y_0 = \frac{2 + 4}{2 - 5} = \frac{6}{-3} = -2$. Точка касания: $M_2(2, -2)$.

Составим уравнения касательных $y = k(x - x_0) + y_0$:
1. Для точки $M_1(8, 4)$: $y = -1(x - 8) + 4 = -x + 8 + 4 = -x + 12$.
2. Для точки $M_2(2, -2)$: $y = -1(x - 2) + (-2) = -x + 2 - 2 = -x$.

Найдем точки пересечения касательных с осью $y$, подставив $x=0$:
1. $y = -0 + 12 = 12$. Координаты точки пересечения $(0, 12)$.
2. $y = -0 = 0$. Координаты точки пересечения $(0, 0)$.

Ответ: $(0, 12)$ и $(0, 0)$.