Номер 43.46, страница 258, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

43.46. Через данную точку $B$ проведите касательную к графику функции $y = f(x)$:

a) $f(x) = -x^2 - 7x + 8, B(1; 1);$

б) $f(x) = -x^2 - 7x + 8, B(0; 9).$

Через данную точку $B$ проведите касательную к графику функции $y = f(x)$:

Общий подход к решению задачи заключается в следующем. Уравнение касательной к графику функции $y=f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$ имеет вид:

$y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$

Поскольку касательная должна проходить через заданную точку $B(x_B, y_B)$, координаты этой точки должны удовлетворять уравнению касательной. Подставив их в уравнение, мы получим уравнение относительно $x_0$, решив которое, найдем абсциссу точки (или точек) касания. После этого можно составить уравнение самой касательной.

Дана функция $f(x) = -x^2 - 7x + 8$ и точка $B(1; 1)$.

1. Найдем производную функции:

$f'(x) = (-x^2 - 7x + 8)' = -2x - 7$.

2. Пусть $A(x_0, f(x_0))$ — точка касания. Уравнение касательной в этой точке:

$y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$

$y = (-x_0^2 - 7x_0 + 8) + (-2x_0 - 7)(x - x_0)$

3. Касательная проходит через точку $B(1; 1)$, поэтому подставим ее координаты ($x=1, y=1$) в уравнение касательной, чтобы найти $x_0$:

$1 = (-x_0^2 - 7x_0 + 8) + (-2x_0 - 7)(1 - x_0)$

4. Решим полученное уравнение:

$1 = -x_0^2 - 7x_0 + 8 - 2x_0 + 2x_0^2 - 7 + 7x_0$

Приведем подобные члены:

$1 = (-x_0^2 + 2x_0^2) + (-7x_0 - 2x_0 + 7x_0) + (8 - 7)$

$1 = x_0^2 - 2x_0 + 1$

$x_0^2 - 2x_0 = 0$

$x_0(x_0 - 2) = 0$

Мы получили два значения для абсциссы точки касания: $x_{01} = 0$ и $x_{02} = 2$. Это означает, что из точки $B$ можно провести две касательные к графику функции.

5. Найдем уравнения этих касательных:

Случай 1: $x_0 = 0$

$f(0) = -0^2 - 7(0) + 8 = 8$

$f'(0) = -2(0) - 7 = -7$

Уравнение первой касательной: $y = 8 - 7(x - 0)$, то есть $y = -7x + 8$.

Случай 2: $x_0 = 2$

$f(2) = -(2)^2 - 7(2) + 8 = -4 - 14 + 8 = -10$

$f'(2) = -2(2) - 7 = -4 - 7 = -11$

Уравнение второй касательной: $y = -10 - 11(x - 2) = -10 - 11x + 22$, то есть $y = -11x + 12$.

Ответ: $y = -7x + 8$ и $y = -11x + 12$.

Дана функция $f(x) = -x^2 - 7x + 8$ и точка $B(0; 9)$.

1. Производная функции нам уже известна: $f'(x) = -2x - 7$.

2. Уравнение касательной в точке $A(x_0, f(x_0))$:

$y = (-x_0^2 - 7x_0 + 8) + (-2x_0 - 7)(x - x_0)$

3. Касательная проходит через точку $B(0; 9)$. Подставим ее координаты ($x=0, y=9$) в уравнение:

$9 = (-x_0^2 - 7x_0 + 8) + (-2x_0 - 7)(0 - x_0)$

4. Решим это уравнение относительно $x_0$:

$9 = -x_0^2 - 7x_0 + 8 + 2x_0^2 + 7x_0$

Приведем подобные члены:

$9 = (-x_0^2 + 2x_0^2) + (-7x_0 + 7x_0) + 8$

$9 = x_0^2 + 8$

$x_0^2 = 1$

Получаем два значения для абсциссы точки касания: $x_{01} = 1$ и $x_{02} = -1$.

5. Найдем уравнения для каждой касательной:

Случай 1: $x_0 = 1$

$f(1) = -(1)^2 - 7(1) + 8 = -1 - 7 + 8 = 0$

$f'(1) = -2(1) - 7 = -9$

Уравнение первой касательной: $y = 0 - 9(x - 1)$, то есть $y = -9x + 9$.

Случай 2: $x_0 = -1$

$f(-1) = -(-1)^2 - 7(-1) + 8 = -1 + 7 + 8 = 14$

$f'(-1) = -2(-1) - 7 = 2 - 7 = -5$

Уравнение второй касательной: $y = 14 - 5(x - (-1)) = 14 - 5(x + 1) = 14 - 5x - 5$, то есть $y = -5x + 9$.

Ответ: $y = -9x + 9$ и $y = -5x + 9$.