Номер 43.50, страница 259, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

43.50. a) Составьте уравнение касательной к графику функции $y = \frac{1}{x^2}, x > 0$, отсекающей от осей координат треугольник, площадь которого равна 2,25.

б) Составьте уравнение касательной к графику функции $y = \frac{1}{x^2}, x < 0$, отсекающей от осей координат треугольник, площадь которого равна $\frac{9}{8}$.

а)

1. Общее уравнение касательной к графику функции $f(x)$ в точке $x_0$ имеет вид: $y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$.

2. Для функции $y = f(x) = \frac{1}{x^2} = x^{-2}$ найдем ее производную:

$f'(x) = (x^{-2})' = -2x^{-3} = -\frac{2}{x^3}$.

3. Запишем уравнение касательной для произвольной точки касания $x_0 > 0$:

$f(x_0) = \frac{1}{x_0^2}$

$f'(x_0) = -\frac{2}{x_0^3}$

$y = \frac{1}{x_0^2} - \frac{2}{x_0^3}(x - x_0)$

4. Найдем точки пересечения этой касательной с осями координат, чтобы определить катеты треугольника.

Пересечение с осью OY (подставляем $x = 0$):

$y_{OY} = \frac{1}{x_0^2} - \frac{2}{x_0^3}(0 - x_0) = \frac{1}{x_0^2} + \frac{2x_0}{x_0^3} = \frac{1}{x_0^2} + \frac{2}{x_0^2} = \frac{3}{x_0^2}$.

Пересечение с осью OX (подставляем $y = 0$):

$0 = \frac{1}{x_0^2} - \frac{2}{x_0^3}(x - x_0)$

$\frac{2}{x_0^3}(x - x_0) = \frac{1}{x_0^2}$

$2(x - x_0) = x_0$

$2x = 3x_0$

$x_{OX} = \frac{3}{2}x_0$.

5. Касательная отсекает от осей координат прямоугольный треугольник. Так как по условию $x_0 > 0$, то $x_{OX} > 0$ и $y_{OY} > 0$. Длины катетов равны $x_{OX}$ и $y_{OY}$.

Площадь этого треугольника $S$ равна:

$S = \frac{1}{2} \cdot x_{OX} \cdot y_{OY} = \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{2}x_0 \cdot \frac{3}{x_0^2} = \frac{9x_0}{4x_0^2} = \frac{9}{4x_0}$.

6. По условию задачи, площадь треугольника равна 2,25. Заметим, что $2,25 = \frac{9}{4}$. Составим и решим уравнение:

$\frac{9}{4x_0} = \frac{9}{4}$

$4x_0 = 4 \Rightarrow x_0 = 1$.

Значение $x_0 = 1$ удовлетворяет условию $x > 0$.

7. Подставим $x_0=1$ в уравнение касательной:

$y = \frac{1}{1^2} - \frac{2}{1^3}(x - 1) = 1 - 2(x-1) = 1 - 2x + 2 = -2x + 3$.

Ответ: $y = -2x + 3$.

б)

1. Аналогично пункту а), используем уравнение касательной $y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$ для функции $f(x) = \frac{1}{x^2}$ и ее производной $f'(x) = -\frac{2}{x^3}$. Точки пересечения с осями также сохраняют свой вид: $x_{OX} = \frac{3}{2}x_0$ и $y_{OY} = \frac{3}{x_0^2}$.

2. В данном случае, по условию $x < 0$, следовательно, точка касания $x_0 < 0$.

Это означает, что $x_{OX} = \frac{3}{2}x_0 < 0$, а $y_{OY} = \frac{3}{x_0^2} > 0$.

3. Треугольник, отсекаемый касательной, находится во второй координатной четверти. Длины его катетов равны абсолютным значениям координат пересечения:

Длина катета по оси OX: $|x_{OX}| = |\frac{3}{2}x_0| = -\frac{3}{2}x_0$ (так как $x_0 < 0$).

Длина катета по оси OY: $|y_{OY}| = |\frac{3}{x_0^2}| = \frac{3}{x_0^2}$.

4. Площадь этого треугольника $S$ равна:

$S = \frac{1}{2} \cdot |x_{OX}| \cdot |y_{OY}| = \frac{1}{2} \cdot (-\frac{3}{2}x_0) \cdot \frac{3}{x_0^2} = -\frac{9x_0}{4x_0^2} = -\frac{9}{4x_0}$.

5. По условию, площадь равна $\frac{9}{8}$. Составим и решим уравнение:

$-\frac{9}{4x_0} = \frac{9}{8}$

Разделим обе части на 9:

$-\frac{1}{4x_0} = \frac{1}{8}$

$4x_0 = -8 \Rightarrow x_0 = -2$.

Значение $x_0 = -2$ удовлетворяет условию $x < 0$.

6. Найдем уравнение касательной в точке $x_0 = -2$:

$f(-2) = \frac{1}{(-2)^2} = \frac{1}{4}$.

$f'(-2) = -\frac{2}{(-2)^3} = -\frac{2}{-8} = \frac{1}{4}$.

$y = f(-2) + f'(-2)(x - (-2)) = \frac{1}{4} + \frac{1}{4}(x + 2) = \frac{1}{4} + \frac{1}{4}x + \frac{2}{4} = \frac{1}{4}x + \frac{3}{4}$.

Ответ: $y = \frac{1}{4}x + \frac{3}{4}$.