Номер 43.56, страница 260, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

43.56. Является ли прямая $y = 4x - 5$ касательной к графику заданной функции? Если да, то найдите координаты точки касания:

а) $y = x^3 + x^2 - x - 2$;

б) $y = x^3 - 2x^2 - 7x - 13$.

Для того чтобы прямая $y = kx + b$ являлась касательной к графику функции $f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$, необходимо одновременное выполнение двух условий:

1. Значение производной функции в точке $x_0$ должно быть равно угловому коэффициенту прямой: $f'(x_0) = k$.
2. Значения функции и прямой в точке $x_0$ должны совпадать (точка касания лежит и на графике функции, и на прямой): $f(x_0) = kx_0 + b$.

В данной задаче прямая задана уравнением $y = 4x - 5$, следовательно, угловой коэффициент $k=4$, а свободный член $b=-5$.

Рассмотрим функцию $f(x) = x^3 + x^2 - x - 2$.

1. Найдем производную функции:

$f'(x) = (x^3 + x^2 - x - 2)' = 3x^2 + 2x - 1$.

2. Применим первое условие касания: $f'(x_0) = k$. Найдем возможные абсциссы точек касания $x_0$, приравняв производную к угловому коэффициенту $k=4$:

$3x_0^2 + 2x_0 - 1 = 4$

$3x_0^2 + 2x_0 - 5 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. Дискриминант $D = 2^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-5) = 4 + 60 = 64$.

Корни уравнения:

$x_{0,1} = \frac{-2 + \sqrt{64}}{2 \cdot 3} = \frac{-2 + 8}{6} = \frac{6}{6} = 1$

$x_{0,2} = \frac{-2 - \sqrt{64}}{2 \cdot 3} = \frac{-2 - 8}{6} = -\frac{10}{6} = -\frac{5}{3}$

Получили две возможные абсциссы для точки касания.

3. Проверим второе условие касания $f(x_0) = 4x_0 - 5$ для каждого найденного значения $x_0$.

Для $x_0 = 1$:

Значение функции: $f(1) = 1^3 + 1^2 - 1 - 2 = 1 + 1 - 1 - 2 = -1$.

Значение на прямой: $y(1) = 4(1) - 5 = -1$.

Так как $f(1) = y(1) = -1$, оба условия выполняются. Следовательно, прямая $y = 4x - 5$ является касательной к графику функции в точке с абсциссой $x_0 = 1$.

Ордината точки касания: $y_0 = -1$. Координаты точки касания: $(1, -1)$.

Для $x_0 = -\frac{5}{3}$:

Значение функции: $f(-\frac{5}{3}) = (-\frac{5}{3})^3 + (-\frac{5}{3})^2 - (-\frac{5}{3}) - 2 = -\frac{125}{27} + \frac{25}{9} + \frac{5}{3} - 2 = \frac{-125 + 75 + 45 - 54}{27} = -\frac{59}{27}$.

Значение на прямой: $y(-\frac{5}{3}) = 4(-\frac{5}{3}) - 5 = -\frac{20}{3} - 5 = -\frac{20 + 15}{3} = -\frac{35}{3}$.

Так как $f(-\frac{5}{3}) \neq y(-\frac{5}{3})$, в этой точке касания нет.

Ответ: Да, является. Координаты точки касания $(1, -1)$.

Рассмотрим функцию $f(x) = x^3 - 2x^2 - 7x - 13$.

1. Найдем производную функции:

$f'(x) = (x^3 - 2x^2 - 7x - 13)' = 3x^2 - 4x - 7$.

2. Чтобы прямая $y = 4x - 5$ была касательной, должна существовать точка $x_0$, в которой одновременно выполняются два условия:

$f'(x_0) = 4 \implies 3x_0^2 - 4x_0 - 7 = 4 \implies 3x_0^2 - 4x_0 - 11 = 0$

$f(x_0) = 4x_0 - 5 \implies x_0^3 - 2x_0^2 - 7x_0 - 13 = 4x_0 - 5 \implies x_0^3 - 2x_0^2 - 11x_0 - 8 = 0$

3. Нам нужно выяснить, имеет ли система уравнений общие решения:

$\begin{cases} 3x_0^2 - 4x_0 - 11 = 0 & (1) \\ x_0^3 - 2x_0^2 - 11x_0 - 8 = 0 & (2) \end{cases}$

Из уравнения (1) выразим $3x_0^2 = 4x_0 + 11$, откуда $x_0^2 = \frac{4x_0 + 11}{3}$.

Подставим это выражение в уравнение (2), предварительно преобразовав его:

$x_0(x_0^2) - 2x_0^2 - 11x_0 - 8 = 0$

$x_0(\frac{4x_0 + 11}{3}) - 2(\frac{4x_0 + 11}{3}) - 11x_0 - 8 = 0$

Умножим все уравнение на 3:

$x_0(4x_0 + 11) - 2(4x_0 + 11) - 33x_0 - 24 = 0$

$4x_0^2 + 11x_0 - 8x_0 - 22 - 33x_0 - 24 = 0$

$4x_0^2 - 30x_0 - 46 = 0$

Разделим на 2: $2x_0^2 - 15x_0 - 23 = 0$.

Таким образом, любой общий корень исходной системы должен удовлетворять и этому уравнению. Решим систему из двух квадратных уравнений:

$\begin{cases} 3x_0^2 - 4x_0 - 11 = 0 \\ 2x_0^2 - 15x_0 - 23 = 0 \end{cases}$

Умножим первое уравнение на 2, а второе на 3, чтобы приравнять коэффициенты при $x_0^2$:

$\begin{cases} 6x_0^2 - 8x_0 - 22 = 0 \\ 6x_0^2 - 45x_0 - 69 = 0 \end{cases}$

Вычтем второе уравнение из первого:

$(6x_0^2 - 8x_0 - 22) - (6x_0^2 - 45x_0 - 69) = 0$

$37x_0 + 47 = 0$

Отсюда находим единственно возможное значение для $x_0$:

$x_0 = -\frac{47}{37}$

Теперь необходимо проверить, является ли это значение корнем одного из исходных уравнений (например, первого). Подставим $x_0 = -\frac{47}{37}$ в уравнение $3x_0^2 - 4x_0 - 11 = 0$:

$3(-\frac{47}{37})^2 - 4(-\frac{47}{37}) - 11 = 3\frac{2209}{1369} + \frac{188}{37} - 11 = \frac{6627}{1369} + \frac{188 \cdot 37}{1369} - \frac{11 \cdot 1369}{1369} = \frac{6627 + 6956 - 15059}{1369} = \frac{13583 - 15059}{1369} = -\frac{1476}{1369} \neq 0$.

Поскольку полученное значение не удовлетворяет уравнению, система не имеет решений. Это означает, что не существует точки, в которой оба условия касания выполнялись бы одновременно.

Ответ: Нет, не является.