Номер 43.61, страница 261, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

•43.61. а) Точка A с абсциссой -1 и точка B с абсциссой 1 принадлежат графику функции $y = 2x^3 + 3x^2 - \frac{x}{2} + 1$. Найдите сумму абсцисс всех тех точек, в каждой из которых касательная к этому графику параллельна прямой AB.

б) Точка A с абсциссой -3 и точка B с абсциссой 3 принадлежат графику функции $y = \frac{1}{3}x^3 - 2x^2 - 22x - 28$. Найдите сумму абсцисс всех тех точек, в каждой из которых касательная к этому графику параллельна прямой AB.

a)

Условие задачи состоит в том, чтобы найти сумму абсцисс всех точек, в которых касательная к графику функции $y = 2x^3 + 3x^2 - \frac{x}{2} + 1$ параллельна прямой AB. Точки A и B лежат на графике и имеют абсциссы $x_A = -1$ и $x_B = 1$ соответственно.

1. Найдем координаты точек A и B.
Для точки A с абсциссой $x_A = -1$ найдем ординату $y_A$:
$y_A = 2(-1)^3 + 3(-1)^2 - \frac{-1}{2} + 1 = 2(-1) + 3(1) + \frac{1}{2} + 1 = -2 + 3 + 0.5 + 1 = 2.5$.
Таким образом, координаты точки A: $(-1; 2.5)$.
Для точки B с абсциссой $x_B = 1$ найдем ординату $y_B$:
$y_B = 2(1)^3 + 3(1)^2 - \frac{1}{2} + 1 = 2 + 3 - 0.5 + 1 = 5.5$.
Таким образом, координаты точки B: $(1; 5.5)$.

2. Найдем угловой коэффициент (тангенс угла наклона) прямой AB.
Угловой коэффициент $k_{AB}$ прямой, проходящей через две точки $(x_1, y_1)$ и $(x_2, y_2)$, вычисляется по формуле $k = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$.
$k_{AB} = \frac{y_B - y_A}{x_B - x_A} = \frac{5.5 - 2.5}{1 - (-1)} = \frac{3}{2} = 1.5$.

3. Найдем абсциссы точек, в которых касательная параллельна прямой AB.
Касательная параллельна прямой AB, если их угловые коэффициенты равны. Угловой коэффициент касательной к графику функции $y(x)$ в точке с абсциссой $x_0$ равен значению производной $y'(x_0)$ в этой точке. Таким образом, нам нужно решить уравнение $y'(x) = k_{AB}$.
Сначала найдем производную функции $y(x)$: $y'(x) = (2x^3 + 3x^2 - \frac{1}{2}x + 1)' = 6x^2 + 6x - \frac{1}{2}$.
Теперь приравняем производную к угловому коэффициенту прямой AB: $6x^2 + 6x - \frac{1}{2} = \frac{3}{2}$
$6x^2 + 6x - \frac{1}{2} - \frac{3}{2} = 0$
$6x^2 + 6x - 2 = 0$
Разделим обе части уравнения на 2: $3x^2 + 3x - 1 = 0$.

4. Найдем сумму абсцисс.
Корни этого квадратного уравнения $x_1$ и $x_2$ являются искомыми абсциссами. По теореме Виета для квадратного уравнения вида $ax^2 + bx + c = 0$, сумма корней равна $x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$.
В нашем случае $a = 3$, $b = 3$, $c = -1$. Сумма абсцисс равна: $x_1 + x_2 = -\frac{3}{3} = -1$.

Ответ: -1

б)

Условие задачи состоит в том, чтобы найти сумму абсцисс всех точек, в которых касательная к графику функции $y = \frac{1}{3}x^3 - 2x^2 - 22x - 28$ параллельна прямой AB. Точки A и B лежат на графике и имеют абсциссы $x_A = -3$ и $x_B = 3$ соответственно.

1. Найдем координаты точек A и B.
Для точки A с абсциссой $x_A = -3$ найдем ординату $y_A$:
$y_A = \frac{1}{3}(-3)^3 - 2(-3)^2 - 22(-3) - 28 = \frac{1}{3}(-27) - 2(9) + 66 - 28 = -9 - 18 + 66 - 28 = 11$.
Таким образом, координаты точки A: $(-3; 11)$.
Для точки B с абсциссой $x_B = 3$ найдем ординату $y_B$:
$y_B = \frac{1}{3}(3)^3 - 2(3)^2 - 22(3) - 28 = \frac{1}{3}(27) - 2(9) - 66 - 28 = 9 - 18 - 66 - 28 = -103$.
Таким образом, координаты точки B: $(3; -103)$.

2. Найдем угловой коэффициент прямой AB.
$k_{AB} = \frac{y_B - y_A}{x_B - x_A} = \frac{-103 - 11}{3 - (-3)} = \frac{-114}{6} = -19$.

3. Найдем абсциссы точек, в которых касательная параллельна прямой AB.
Условие параллельности касательной и прямой AB: $y'(x) = k_{AB}$.
Найдем производную функции $y(x)$: $y'(x) = (\frac{1}{3}x^3 - 2x^2 - 22x - 28)' = x^2 - 4x - 22$.
Приравняем производную к угловому коэффициенту прямой AB: $x^2 - 4x - 22 = -19$
$x^2 - 4x - 22 + 19 = 0$
$x^2 - 4x - 3 = 0$.

4. Найдем сумму абсцисс.
По теореме Виета, сумма корней $x_1$ и $x_2$ уравнения $ax^2 + bx + c = 0$ равна $x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$.
В нашем случае $a = 1$, $b = -4$, $c = -3$. Сумма абсцисс равна: $x_1 + x_2 = -\frac{-4}{1} = 4$.

Ответ: 4