Номер 43.68, страница 262, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

43.68. а) Прямая $y = 6x - 7$ касается параболы $y = x^2 + bx + c$ в точке $M(2; 5)$. Найдите значения коэффициентов $b$ и $c$.

б) Прямая $y = 7x - 10$ касается параболы $y = ax^2 + bx + c$ в точке $x = 2$. Найдите значения коэффициентов $a$, $b$ и $c$, если известно, что парабола пересекает ось абсцисс в точке $x = 1$.

а)

Даны прямая $y = 6x - 7$ и парабола $y = x^2 + bx + c$. Они касаются в точке $M(2; 5)$. Нам нужно найти значения коэффициентов $b$ и $c$.

1. Поскольку точка касания $M(2; 5)$ принадлежит параболе, её координаты должны удовлетворять уравнению параболы. Подставим $x=2$ и $y=5$ в уравнение $y = x^2 + bx + c$:
$5 = (2)^2 + b(2) + c$
$5 = 4 + 2b + c$
$2b + c = 1$

2. В точке касания угловой коэффициент касательной к параболе равен угловому коэффициенту самой прямой. Угловой коэффициент прямой $y = 6x - 7$ равен $6$.

Найдем производную функции параболы $y = x^2 + bx + c$, которая определяет ее угловой коэффициент в любой точке $x$:
$y' = (x^2 + bx + c)' = 2x + b$

В точке касания абсцисса равна $x=2$. Вычислим значение производной в этой точке:
$y'(2) = 2(2) + b = 4 + b$

Приравниваем угловой коэффициент параболы в точке касания к угловому коэффициенту прямой:
$4 + b = 6$
Отсюда находим $b$:
$b = 6 - 4$
$b = 2$

3. Теперь, зная значение $b=2$, найдем $c$ из уравнения, полученного в первом пункте: $2b + c = 1$.
$2(2) + c = 1$
$4 + c = 1$
$c = 1 - 4$
$c = -3$

Таким образом, мы нашли искомые значения коэффициентов.
Ответ: $b = 2, c = -3$.

б)

Даны прямая $y = 7x - 10$ и парабола $y = ax^2 + bx + c$. Известно, что они касаются в точке с абсциссой $x=2$, и парабола пересекает ось абсцисс в точке $x=1$. Нам нужно найти три неизвестных коэффициента: $a, b, c$. Для этого составим систему из трех уравнений, используя все предоставленные условия.

1. Условие касания (координаты точки).
Найдем ординату точки касания, подставив $x=2$ в уравнение прямой, так как точка касания лежит на прямой:
$y = 7(2) - 10 = 14 - 10 = 4$.
Таким образом, точка касания имеет координаты $(2; 4)$. Эта точка также принадлежит параболе, поэтому ее координаты удовлетворяют уравнению параболы:
$4 = a(2)^2 + b(2) + c$
$4a + 2b + c = 4$ (Уравнение 1)

2. Условие касания (равенство производных).
Угловой коэффициент касательной (прямой $y=7x-10$) равен $7$. Производная функции параболы $y' = (ax^2 + bx + c)' = 2ax + b$. В точке касания при $x=2$ значение производной должно быть равно $7$:
$y'(2) = 2a(2) + b = 7$
$4a + b = 7$ (Уравнение 2)

3. Условие пересечения оси абсцисс.
Парабола пересекает ось абсцисс (ось Ox) в точке $x=1$. Это означает, что точка с координатами $(1; 0)$ принадлежит параболе. Подставим $x=1$ и $y=0$ в уравнение параболы:
$0 = a(1)^2 + b(1) + c$
$a + b + c = 0$ (Уравнение 3)

4. Решение системы уравнений.
Мы получили систему из трех линейных уравнений с тремя неизвестными:
(1) $4a + 2b + c = 4$
(2) $4a + b = 7$
(3) $a + b + c = 0$

Из Уравнения 2 выразим $b$ через $a$:
$b = 7 - 4a$

Подставим это выражение для $b$ в Уравнение 3:
$a + (7 - 4a) + c = 0$
$-3a + 7 + c = 0$
Выразим $c$ через $a$:
$c = 3a - 7$

Теперь подставим выражения для $b$ и $c$ в Уравнение 1:
$4a + 2(7 - 4a) + (3a - 7) = 4$
$4a + 14 - 8a + 3a - 7 = 4$
Сгруппируем члены с $a$ и свободные члены:
$(4 - 8 + 3)a + (14 - 7) = 4$
$-a + 7 = 4$
$-a = 4 - 7$
$-a = -3$
$a = 3$

Теперь, зная $a=3$, последовательно находим $b$ и $c$:
$b = 7 - 4a = 7 - 4(3) = 7 - 12 = -5$
$c = 3a - 7 = 3(3) - 7 = 9 - 7 = 2$

Итак, мы нашли все три коэффициента.
Ответ: $a=3, b=-5, c=2$.