Номер 43.69, страница 262, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

43.69. Докажите, что треугольник, образованный касательной к гиперболе $y = \frac{a^2}{x}$ и осями координат, имеет постоянную площадь, а точка касания является центром окружности, описанной около этого треугольника. Рассмотрев чертёж к задаче, придумайте геометрический способ построения касательной к гиперболе.

Доказательство того, что треугольник, образованный касательной к гиперболе и осями координат, имеет постоянную площадь

Рассмотрим гиперболу, заданную уравнением $y = \frac{a^2}{x}$. Пусть $M(x_0, y_0)$ — произвольная точка на этой гиперболе, в которой мы проводим касательную. Координаты этой точки удовлетворяют уравнению гиперболы, то есть $y_0 = \frac{a^2}{x_0}$.

Для того чтобы найти уравнение касательной, сначала найдем производную функции $y(x)$:
$y' = \left(\frac{a^2}{x}\right)' = a^2 \cdot (x^{-1})' = a^2 \cdot (-1 \cdot x^{-2}) = -\frac{a^2}{x^2}$.

Угловой коэффициент $k$ касательной в точке $M(x_0, y_0)$ равен значению производной в этой точке:
$k = y'(x_0) = -\frac{a^2}{x_0^2}$.

Уравнение касательной, проходящей через точку $M(x_0, y_0)$ с угловым коэффициентом $k$, имеет вид:
$y - y_0 = k(x - x_0)$.
Подставим известные значения $y_0$ и $k$:
$y - \frac{a^2}{x_0} = -\frac{a^2}{x_0^2}(x - x_0)$.

Теперь найдем точки пересечения этой касательной с осями координат.
1. Пересечение с осью ординат (осью Oy). Для этого положим $x = 0$:
$y - \frac{a^2}{x_0} = -\frac{a^2}{x_0^2}(0 - x_0) \Rightarrow y - \frac{a^2}{x_0} = \frac{a^2}{x_0} \Rightarrow y = \frac{2a^2}{x_0}$.
Пусть точка пересечения с осью Oy будет точка B. Ее координаты $B\left(0, \frac{2a^2}{x_0}\right)$.

2. Пересечение с осью абсцисс (осью Ox). Для этого положим $y = 0$:
$0 - \frac{a^2}{x_0} = -\frac{a^2}{x_0^2}(x - x_0) \Rightarrow -\frac{a^2}{x_0} = -\frac{a^2}{x_0^2}x + \frac{a^2}{x_0} \Rightarrow \frac{a^2}{x_0^2}x = \frac{2a^2}{x_0}$.
Отсюда $x = \frac{2a^2}{x_0} \cdot \frac{x_0^2}{a^2} = 2x_0$.
Пусть точка пересечения с осью Ox будет точка A. Ее координаты $A(2x_0, 0)$.

Треугольник, образованный касательной и осями координат, является прямоугольным треугольником $OAB$, где $O(0,0)$ — начало координат. Его катеты лежат на осях координат и имеют длины $OA = |2x_0|$ и $OB = \left|\frac{2a^2}{x_0}\right|$.

Площадь этого треугольника $S$ равна половине произведения его катетов:
$S = \frac{1}{2} \cdot OA \cdot OB = \frac{1}{2} \cdot |2x_0| \cdot \left|\frac{2a^2}{x_0}\right| = \frac{1}{2} \cdot \left|4a^2\right| = 2|a^2|$.
Так как $a^2$ всегда неотрицательно, то $S = 2a^2$.

Полученное значение площади зависит только от параметра $a$ гиперболы и не зависит от выбора точки касания $M(x_0, y_0)$. Следовательно, площадь треугольника постоянна.

Ответ: Площадь треугольника, образованного касательной к гиперболе $y = \frac{a^2}{x}$ и осями координат, постоянна и равна $2a^2$.

Доказательство того, что точка касания является центром окружности, описанной около этого треугольника

Как было показано выше, касательная к гиперболе в точке $M(x_0, y_0)$ образует с осями координат прямоугольный треугольник $OAB$ с вершинами в точках $O(0,0)$, $A(2x_0, 0)$ и $B\left(0, \frac{2a^2}{x_0}\right)$.

Известно, что центр окружности, описанной около прямоугольного треугольника, находится в середине его гипотенузы. В треугольнике $OAB$ гипотенузой является отрезок $AB$.

Найдем координаты середины гипотенузы $AB$. Пусть это будет точка $C(x_c, y_c)$. Координаты середины отрезка вычисляются как полусумма координат его концов:
$x_c = \frac{x_A + x_B}{2} = \frac{2x_0 + 0}{2} = x_0$.
$y_c = \frac{y_A + y_B}{2} = \frac{0 + \frac{2a^2}{x_0}}{2} = \frac{a^2}{x_0}$.

Таким образом, центр описанной окружности имеет координаты $C\left(x_0, \frac{a^2}{x_0}\right)$.

Координаты точки касания $M$ были $M(x_0, y_0)$, и так как точка $M$ лежит на гиперболе, $y_0 = \frac{a^2}{x_0}$. Следовательно, координаты точки касания $M\left(x_0, \frac{a^2}{x_0}\right)$.

Сравнивая координаты точки $C$ и точки $M$, мы видим, что они совпадают. Это доказывает, что точка касания является центром окружности, описанной около треугольника $OAB$.

Ответ: Точка касания является серединой отрезка, отсекаемого касательной на осях координат, что для образованного прямоугольного треугольника совпадает с центром описанной окружности.

Геометрический способ построения касательной к гиперболе

Из предыдущих доказательств следует, что точка касания $M(x_0, y_0)$ является серединой отрезка $AB$, где $A$ и $B$ — точки пересечения касательной с осями Ox и Oy соответственно. При этом $A$ имеет координаты $(2x_0, 0)$, а $B$ — $(0, 2y_0)$, где $y_0 = a^2/x_0$.

Это свойство позволяет предложить простой геометрический способ построения касательной в заданной точке $P(x_p, y_p)$ на гиперболе.

Алгоритм построения:

1. Пусть дана точка $P$ на гиперболе. Опустим из точки $P$ перпендикуляр на ось Ox. Пусть основание этого перпендикуляра — точка $P_x$. Координаты $P_x$ равны $(x_p, 0)$.
2. На оси Ox отложим от начала координат $O$ отрезок $OA$, длина которого в два раза больше длины отрезка $OP_x$. То есть, $OA = 2 \cdot OP_x$. Точка $A$ будет иметь координаты $(2x_p, 0)$.
3. Соединим прямой линией точку $A$ и заданную точку $P$. Эта прямая $AP$ и будет являться искомой касательной к гиперболе в точке $P$.

Аналогичное построение можно выполнить с использованием оси Oy: опустить перпендикуляр из $P$ на ось Oy в точку $P_y$, отложить отрезок $OB = 2 \cdot OP_y$ и провести прямую через точки $B$ и $P$. Результат будет тем же.

Ответ: Чтобы построить касательную в точке $P$ на гиперболе, нужно из $P$ опустить перпендикуляр на ось абсцисс в точку $P_x$, затем на оси абсцисс найти точку $A$ такую, что $OA = 2 \cdot OP_x$. Прямая, проходящая через точки $A$ и $P$, является касательной.