Номер 44.1, страница 262, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

44.1. Определите, какой знак имеет производная функции $y = f(x)$ в точках с абсциссами $a, b, c, d$:

а) рис. 96;

б) рис. 97.

Для определения знака производной функции $y = f(x)$ в некоторой точке по ее графику используется геометрический смысл производной. Знак производной $f'(x)$ в точке $x_0$ связан с поведением (монотонностью) функции в этой точке:

• Если функция $f(x)$ в точке возрастает (при движении слева направо график идет вверх), то ее производная в этой точке положительна: $f'(x_0) > 0$.
• Если функция $f(x)$ в точке убывает (при движении слева направо график идет вниз), то ее производная в этой точке отрицательна: $f'(x_0) < 0$.
• Если в точке $x_0$ находится точка экстремума (локальный максимум или минимум, то есть "вершина" или "впадина" графика), то касательная к графику в этой точке горизонтальна, а производная равна нулю: $f'(x_0) = 0$.

Поскольку сами графики (рис. 96 и рис. 97) не предоставлены, дать однозначный ответ для каждого случая невозможно. Решение будет основано на общем принципе, который нужно применить к конкретным графикам.

а) рис. 96;

Для определения знаков производной в точках с абсциссами $a, b, c, d$ по графику на рис. 96, необходимо визуально оценить направление движения графика в каждой из этих точек.

• В точке a: Если функция возрастает, то $f'(a) > 0$. Если убывает, то $f'(a) < 0$. Если это точка экстремума, то $f'(a) = 0$.
• В точке b: Если функция возрастает, то $f'(b) > 0$. Если убывает, то $f'(b) < 0$. Если это точка экстремума, то $f'(b) = 0$.
• В точке c: Если функция возрастает, то $f'(c) > 0$. Если убывает, то $f'(c) < 0$. Если это точка экстремума, то $f'(c) = 0$.
• В точке d: Если функция возрастает, то $f'(d) > 0$. Если убывает, то $f'(d) < 0$. Если это точка экстремума, то $f'(d) = 0$.

Ответ: Для предоставления ответа необходимо изображение "рис. 96".

б) рис. 97.

Аналогично пункту а), для определения знаков производной в точках с абсциссами $a, b, c, d$ по графику на рис. 97, необходимо проанализировать поведение функции в каждой из этих точек.

• В точке a: Нужно определить, возрастает ли функция (тогда $f'(a) > 0$), убывает ли (тогда $f'(a) < 0$), или в этой точке находится экстремум (тогда $f'(a) = 0$).
• В точке b: Нужно определить, возрастает ли функция (тогда $f'(b) > 0$), убывает ли (тогда $f'(b) < 0$), или в этой точке находится экстремум (тогда $f'(b) = 0$).
• В точке c: Нужно определить, возрастает ли функция (тогда $f'(c) > 0$), убывает ли (тогда $f'(c) < 0$), или в этой точке находится экстремум (тогда $f'(c) = 0$).
• В точке d: Нужно определить, возрастает ли функция (тогда $f'(d) > 0$), убывает ли (тогда $f'(d) < 0$), или в этой точке находится экстремум (тогда $f'(d) = 0$).

Ответ: Для предоставления ответа необходимо изображение "рис. 97".