Номер 43.70, страница 262, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

43.70. Докажите, что касательная к параболе $y = x^2$ в точке $x = a$ делит пополам отрезок $[0; a]$ оси абсцисс. Рассмотрев чертёж к задаче, придумайте геометрический способ построения касательной к параболе. Обобщите этот результат и этот способ построения касательной на любую степенную функцию $y = x^n$, где $n$ — натуральное число, большее 2.

Доказательство для параболы $y = x^2$

Требуется доказать, что касательная к параболе $y = x^2$ в точке с абсциссой $x = a$ делит пополам отрезок $[0; a]$ на оси абсцисс.

1. Найдём уравнение касательной к графику функции $f(x) = x^2$ в точке с абсциссой $x_0 = a$. Координаты точки касания: $M(a, f(a))$, то есть $M(a, a^2)$.

2. Найдём производную функции: $f'(x) = (x^2)' = 2x$.

3. Значение производной в точке $x_0 = a$ равно угловому коэффициенту (наклону) касательной в этой точке: $k = f'(a) = 2a$.

4. Уравнение касательной к графику функции в точке $(x_0, y_0)$ имеет вид $y - y_0 = k(x - x_0)$. Подставим наши значения:

$y - a^2 = 2a(x - a)$

$y = 2ax - 2a^2 + a^2$

$y = 2ax - a^2$

5. Чтобы найти точку пересечения касательной с осью абсцисс (осью Ox), нужно положить $y = 0$:

$0 = 2ax - a^2$

$2ax = a^2$

При $a \neq 0$, получим $x = \frac{a^2}{2a} = \frac{a}{2}$. Если $a = 0$, то точка касания — начало координат, касательная — это сама ось абсцисс ($y=0$), и точка пересечения $x=0$, что также удовлетворяет формуле $x=a/2$.

6. Таким образом, касательная пересекает ось абсцисс в точке с координатой $x = \frac{a}{2}$.

7. Отрезок оси абсцисс, о котором идёт речь в задаче, — это $[0; a]$. Координата его середины равна $\frac{0+a}{2} = \frac{a}{2}$.

Поскольку абсцисса точки пересечения касательной с осью Ox совпадает с координатой середины отрезка $[0; a]$, утверждение доказано.

Ответ: Абсцисса точки пересечения касательной к параболе $y=x^2$ в точке $x=a$ с осью Ox равна $\frac{a}{2}$, что является координатой середины отрезка $[0; a]$ на этой оси.

Геометрический способ построения касательной к параболе

Основываясь на доказанном выше свойстве, можно предложить следующий простой геометрический способ построения касательной к параболе $y = x^2$ в произвольной точке $P$ на ней.

1. Пусть $P(a, a^2)$ — точка на параболе, в которой нужно построить касательную.

2. Опустим перпендикуляр из точки $P$ на ось абсцисс. Основание этого перпендикуляра — точка $P_x(a, 0)$.

3. Найдём середину $M$ отрезка $[0; a]$ на оси абсцисс (отрезок от начала координат $O(0,0)$ до точки $P_x$). Координаты точки $M$ будут $(\frac{a}{2}, 0)$.

4. Проведём прямую через точку касания $P$ и найденную точку $M$.

Полученная прямая $MP$ является касательной к параболе $y=x^2$ в точке $P$.

Ответ: Чтобы построить касательную к параболе в точке $P(a, a^2)$, необходимо соединить эту точку прямой с точкой $M(\frac{a}{2}, 0)$ на оси абсцисс, которая является серединой отрезка $[0, a]$.

Обобщение для функции $y = x^n$

Обобщим полученный результат для степенной функции $y = x^n$, где $n$ — натуральное число, большее 2.

1. Найдём уравнение касательной к графику функции $f(x) = x^n$ в точке с абсциссой $x_0 = a$. Точка касания: $M(a, a^n)$.

2. Производная функции: $f'(x) = nx^{n-1}$.

3. Угловой коэффициент касательной в точке $x=a$: $k = f'(a) = na^{n-1}$.

4. Уравнение касательной: $y - a^n = na^{n-1}(x - a)$.

5. Найдём точку пересечения касательной с осью абсцисс ($y=0$):

$-a^n = na^{n-1}(x-a)$

$-a^n = na^{n-1}x - na^n$

$na^{n-1}x = na^n - a^n = (n-1)a^n$

При $a \neq 0$, абсцисса точки пересечения равна: $x = \frac{(n-1)a^n}{na^{n-1}} = \frac{n-1}{n}a$.

Обобщенный результат: Касательная к графику функции $y = x^n$ в точке с абсциссой $a$ пересекает ось абсцисс в точке $x = \frac{n-1}{n}a$. Эта точка делит отрезок $[0; a]$ в отношении $(n-1):1$, считая от начала координат.

Обобщенный способ построения касательной:

1. Пусть $P(a, a^n)$ — точка на кривой $y=x^n$.

2. Найдём на оси абсцисс точку $M$, которая делит отрезок $[0, a]$ в отношении $(n-1):1$. Её координата $x_M = \frac{n-1}{n}a$.

3. Проведём прямую через точки $P$ и $M$. Эта прямая и будет касательной.

Ответ: Касательная к кривой $y = x^n$ в точке с абсциссой $x=a$ пересекает ось абсцисс в точке $x = \frac{n-1}{n}a$. Геометрический способ построения заключается в проведении прямой через точку касания $P(a, a^n)$ и точку $M$ на оси абсцисс с координатой $x_M = \frac{n-1}{n}a$.