Номер 43.63, страница 261, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

43.63. Углом между кривыми называют угол между касательными к кривым в точке их пересечения. Под каким углом пересекаются кривые:

а) $y = \frac{1}{x}$ и $y = \sqrt{x}$;

б) $y = x^2$ и $y = \sqrt{x}$?

a)

Для нахождения угла между кривыми $y = \frac{1}{x}$ и $y = \sqrt{x}$ сначала найдем их точку пересечения. Для этого приравняем правые части уравнений:

$\frac{1}{x} = \sqrt{x}$

Область допустимых значений для этого уравнения — $x > 0$. Возведем обе части в квадрат:

$\left(\frac{1}{x}\right)^2 = (\sqrt{x})^2$

$\frac{1}{x^2} = x$

$1 = x^3$, откуда получаем $x_0 = 1$.

Найдем соответствующую ординату, подставив $x_0 = 1$ в любое из уравнений: $y_0 = \sqrt{1} = 1$. Таким образом, точка пересечения кривых — $M(1, 1)$.

Угол между кривыми в точке их пересечения по определению равен углу между касательными к этим кривым в данной точке. Угловой коэффициент касательной к графику функции $y = f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$ равен значению производной $f'(x_0)$.

Найдем производные заданных функций:

1. Для кривой $f_1(x) = \frac{1}{x} = x^{-1}$, производная $f_1'(x) = -1 \cdot x^{-2} = -\frac{1}{x^2}$.

2. Для кривой $f_2(x) = \sqrt{x} = x^{1/2}$, производная $f_2'(x) = \frac{1}{2}x^{-1/2} = \frac{1}{2\sqrt{x}}$.

Теперь вычислим угловые коэффициенты касательных в точке пересечения $x_0 = 1$:

$k_1 = f_1'(1) = -\frac{1}{1^2} = -1$.

$k_2 = f_2'(1) = \frac{1}{2\sqrt{1}} = \frac{1}{2}$.

Тангенс угла $\alpha$ между двумя прямыми с угловыми коэффициентами $k_1$ и $k_2$ находится по формуле:

$\tan(\alpha) = \left| \frac{k_2 - k_1}{1 + k_1 k_2} \right|$

Подставим найденные значения:

$\tan(\alpha) = \left| \frac{\frac{1}{2} - (-1)}{1 + (-1) \cdot \frac{1}{2}} \right| = \left| \frac{\frac{3}{2}}{1 - \frac{1}{2}} \right| = \left| \frac{\frac{3}{2}}{\frac{1}{2}} \right| = 3$.

Следовательно, искомый угол $\alpha$ равен $\arctan(3)$.

Ответ: $\arctan(3)$.

б)

Найдем точки пересечения кривых $y = x^2$ и $y = \sqrt{x}$. Приравняем их правые части:

$x^2 = \sqrt{x}$

Область допустимых значений: $x \ge 0$. Возведем обе части в квадрат:

$(x^2)^2 = (\sqrt{x})^2$

$x^4 = x$

$x^4 - x = 0$

$x(x^3 - 1) = 0$

Это уравнение имеет два решения: $x_1 = 0$ и $x_2 = 1$.

Найдем соответствующие ординаты:

При $x_1 = 0$, $y_1 = 0^2 = 0$. Первая точка пересечения $O(0, 0)$.

При $x_2 = 1$, $y_2 = 1^2 = 1$. Вторая точка пересечения $M(1, 1)$.

Кривые пересекаются в двух точках, поэтому найдем угол пересечения в каждой из них.

Найдем производные функций:

1. Для $g_1(x) = x^2$, производная $g_1'(x) = 2x$.

2. Для $g_2(x) = \sqrt{x}$, производная $g_2'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}}$.

Случай 1: Точка пересечения $M(1, 1)$

Вычислим угловые коэффициенты касательных в точке $x_2 = 1$:

$k_1 = g_1'(1) = 2 \cdot 1 = 2$.

$k_2 = g_2'(1) = \frac{1}{2\sqrt{1}} = \frac{1}{2}$.

Найдем тангенс угла $\alpha_1$ между касательными:

$\tan(\alpha_1) = \left| \frac{k_2 - k_1}{1 + k_1 k_2} \right| = \left| \frac{\frac{1}{2} - 2}{1 + 2 \cdot \frac{1}{2}} \right| = \left| \frac{-\frac{3}{2}}{1 + 1} \right| = \left| \frac{-\frac{3}{2}}{2} \right| = \frac{3}{4}$.

Угол пересечения в точке $M(1, 1)$ равен $\alpha_1 = \arctan\left(\frac{3}{4}\right)$.

Случай 2: Точка пересечения $O(0, 0)$

Вычислим угловые коэффициенты касательных в точке $x_1 = 0$:

Для кривой $y = x^2$, угловой коэффициент касательной $k_1 = g_1'(0) = 2 \cdot 0 = 0$. Это означает, что касательная к этой кривой в точке $(0, 0)$ — это горизонтальная прямая (ось Ox).

Для кривой $y = \sqrt{x}$, производная $g_2'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}}$ не определена в точке $x = 0$. Найдем предел углового коэффициента при $x$, стремящемся к $0$ справа (так как функция определена для $x \ge 0$):

$\lim_{x \to 0^+} g_2'(x) = \lim_{x \to 0^+} \frac{1}{2\sqrt{x}} = +\infty$.

Бесконечный угловой коэффициент означает, что касательная является вертикальной прямой. В точке $(0, 0)$ это ось Oy.

Угол $\alpha_2$ между горизонтальной прямой (ось Ox) и вертикальной прямой (ось Oy) составляет $90^\circ$ (или $\frac{\pi}{2}$ радиан).

Таким образом, кривые пересекаются в двух точках под разными углами.

Ответ: кривые пересекаются в точке $(1, 1)$ под углом $\arctan\left(\frac{3}{4}\right)$ и в точке $(0, 0)$ под углом $90^\circ$.