Номер 43.59, страница 260, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

43.59. а) К графику функции $y = 2 \sin^2 x + \sqrt{3} \sin 2x$, $x \in [0; \frac{\pi}{2}]$, проведена касательная, параллельная прямой $y - 4x - 1 = 0$. Найдите ординату точки касания.

б) К графику функции $y = 2 \cos^2 x + \sqrt{3} \sin 2x$, $x \in [\frac{\pi}{2}; \pi]$, проведена касательная, параллельная прямой $3y - 6x + 2 = 0$. Найдите ординату точки касания.

a)

Дана функция $y = 2\sin^2 x + \sqrt{3}\sin 2x$ на отрезке $x \in [0; \frac{\pi}{2}]$ и прямая $y - 4x - 1 = 0$. Условие того, что касательная к графику функции параллельна данной прямой, означает, что их угловые коэффициенты равны. Найдем угловой коэффициент $k$ данной прямой. Для этого представим уравнение прямой в виде $y = kx+b$:
$y = 4x + 1$.
Следовательно, угловой коэффициент $k=4$.

Угловой коэффициент касательной к графику функции в точке с абсциссой $x_0$ равен значению производной функции в этой точке, то есть $y'(x_0)$. Найдем производную функции $y(x)$: $y' = (2\sin^2 x + \sqrt{3}\sin 2x)' = 2 \cdot 2\sin x \cdot (\sin x)' + \sqrt{3} \cos(2x) \cdot (2x)' = 4\sin x \cos x + 2\sqrt{3}\cos(2x)$. Используя формулу синуса двойного угла $2\sin\alpha\cos\alpha = \sin(2\alpha)$, получаем: $y' = 2\sin(2x) + 2\sqrt{3}\cos(2x)$.

Приравняем значение производной в точке $x_0$ к угловому коэффициенту прямой: $y'(x_0) = 4$
$2\sin(2x_0) + 2\sqrt{3}\cos(2x_0) = 4$.
Разделим обе части уравнения на 2: $\sin(2x_0) + \sqrt{3}\cos(2x_0) = 2$.
Для решения этого тригонометрического уравнения применим метод введения вспомогательного угла. Разделим обе части на $\sqrt{1^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{1+3} = 2$: $\frac{1}{2}\sin(2x_0) + \frac{\sqrt{3}}{2}\cos(2x_0) = 1$.
Заметим, что $\cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}$ и $\sin(\frac{\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$. Подставим эти значения в уравнение: $\cos(\frac{\pi}{3})\sin(2x_0) + \sin(\frac{\pi}{3})\cos(2x_0) = 1$.
По формуле синуса суммы $\sin(\alpha + \beta) = \sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta$ имеем: $\sin(2x_0 + \frac{\pi}{3}) = 1$.
Общее решение этого уравнения: $2x_0 + \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{2} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
$2x_0 = \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{3} + 2\pi n = \frac{3\pi - 2\pi}{6} + 2\pi n = \frac{\pi}{6} + 2\pi n$.
$x_0 = \frac{\pi}{12} + \pi n$.

Теперь нужно найти корень, принадлежащий заданному отрезку $x \in [0; \frac{\pi}{2}]$. При $n=0$, $x_0 = \frac{\pi}{12}$. Этот корень подходит, так как $0 \le \frac{\pi}{12} \le \frac{\pi}{2}$. При $n=1$, $x_0 = \frac{\pi}{12} + \pi = \frac{13\pi}{12}$, что больше $\frac{\pi}{2}$. При $n=-1$, $x_0 = \frac{\pi}{12} - \pi = -\frac{11\pi}{12}$, что меньше $0$. Таким образом, абсцисса точки касания равна $x_0 = \frac{\pi}{12}$.

Для нахождения ординаты точки касания подставим значение $x_0$ в исходную функцию: $y(\frac{\pi}{12}) = 2\sin^2(\frac{\pi}{12}) + \sqrt{3}\sin(2 \cdot \frac{\pi}{12}) = 2\sin^2(\frac{\pi}{12}) + \sqrt{3}\sin(\frac{\pi}{6})$.
Используем формулу понижения степени $\sin^2\alpha = \frac{1-\cos(2\alpha)}{2}$: $\sin^2(\frac{\pi}{12}) = \frac{1-\cos(2 \cdot \frac{\pi}{12})}{2} = \frac{1-\cos(\frac{\pi}{6})}{2} = \frac{1 - \frac{\sqrt{3}}{2}}{2} = \frac{2-\sqrt{3}}{4}$.
Значение $\sin(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{2}$. Подставляем найденные значения: $y(\frac{\pi}{12}) = 2 \cdot \frac{2-\sqrt{3}}{4} + \sqrt{3} \cdot \frac{1}{2} = \frac{2-\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{2-\sqrt{3}+\sqrt{3}}{2} = \frac{2}{2} = 1$.
Ордината точки касания равна 1.

Ответ: 1

б)

Дана функция $y = 2\cos^2 x + \sqrt{3}\sin 2x$ на отрезке $x \in [\frac{\pi}{2}; \pi]$ и прямая $3y - 6x + 2 = 0$. Касательная параллельна прямой, значит их угловые коэффициенты равны. Найдем угловой коэффициент $k$ прямой, выразив $y$:
$3y = 6x - 2$
$y = 2x - \frac{2}{3}$.
Угловой коэффициент $k=2$.

Найдем производную функции $y(x)$: $y' = (2\cos^2 x + \sqrt{3}\sin 2x)' = 2 \cdot 2\cos x \cdot (-\sin x) + \sqrt{3} \cos(2x) \cdot 2 = -4\sin x\cos x + 2\sqrt{3}\cos(2x)$. Используя формулу $2\sin\alpha\cos\alpha = \sin(2\alpha)$, получаем: $y' = -2\sin(2x) + 2\sqrt{3}\cos(2x)$.

Приравняем производную в точке $x_0$ к угловому коэффициенту $k=2$: $y'(x_0) = 2$
$-2\sin(2x_0) + 2\sqrt{3}\cos(2x_0) = 2$.
Разделим обе части на 2: $\sqrt{3}\cos(2x_0) - \sin(2x_0) = 1$.
Разделим обе части на $\sqrt{(\sqrt{3})^2 + (-1)^2} = 2$: $\frac{\sqrt{3}}{2}\cos(2x_0) - \frac{1}{2}\sin(2x_0) = \frac{1}{2}$.
Зная, что $\cos(\frac{\pi}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ и $\sin(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{2}$, перепишем уравнение: $\cos(\frac{\pi}{6})\cos(2x_0) - \sin(\frac{\pi}{6})\sin(2x_0) = \frac{1}{2}$.
По формуле косинуса суммы $\cos(\alpha + \beta) = \cos\alpha\cos\beta - \sin\alpha\sin\beta$: $\cos(2x_0 + \frac{\pi}{6}) = \frac{1}{2}$.
Общее решение: $2x_0 + \frac{\pi}{6} = \pm\frac{\pi}{3} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Рассмотрим два случая: 1) $2x_0 + \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{3} + 2\pi n$
$2x_0 = \frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{6} + 2\pi n = \frac{\pi}{6} + 2\pi n$
$x_0 = \frac{\pi}{12} + \pi n$. Ни при каком целом $n$ корень не попадает в отрезок $[\frac{\pi}{2}; \pi]$. 2) $2x_0 + \frac{\pi}{6} = -\frac{\pi}{3} + 2\pi n$
$2x_0 = -\frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{6} + 2\pi n = -\frac{3\pi}{6} + 2\pi n = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n$
$x_0 = -\frac{\pi}{4} + \pi n$. При $n=1$, $x_0 = -\frac{\pi}{4} + \pi = \frac{3\pi}{4}$. Этот корень принадлежит отрезку $[\frac{\pi}{2}; \pi]$, так как $\frac{2\pi}{4} \le \frac{3\pi}{4} \le \pi$. При других $n$ корни не подходят. Следовательно, абсцисса точки касания $x_0 = \frac{3\pi}{4}$.

Найдем ординату точки касания, подставив $x_0 = \frac{3\pi}{4}$ в функцию: $y(\frac{3\pi}{4}) = 2\cos^2(\frac{3\pi}{4}) + \sqrt{3}\sin(2 \cdot \frac{3\pi}{4}) = 2\cos^2(\frac{3\pi}{4}) + \sqrt{3}\sin(\frac{3\pi}{2})$.
Так как $\cos(\frac{3\pi}{4}) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$ и $\sin(\frac{3\pi}{2}) = -1$, то: $y(\frac{3\pi}{4}) = 2(-\frac{\sqrt{2}}{2})^2 + \sqrt{3}(-1) = 2(\frac{2}{4}) - \sqrt{3} = 1 - \sqrt{3}$.
Ордината точки касания равна $1 - \sqrt{3}$.

Ответ: $1 - \sqrt{3}$