Номер 43.52, страница 259, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

43.52. a) На оси $y$ взята точка B, из неё проведены касательные к графику функции $y = 3 - \frac{1}{2}x^2$. Известно, что эти касательные образуют между собой угол $90^{\circ}$. Найдите координаты точки B.

б) Составьте уравнения тех касательных к графику функции $y = 0,5x^2 - 2,5$, которые пересекаются под углом $90^{\circ}$ в точке, лежащей на оси $y$.

а)

Пусть точка $B$ имеет координаты $(0, y_B)$, так как она лежит на оси $y$.

Дана функция $y(x) = 3 - \frac{1}{2}x^2$. Найдем ее производную, которая задает угловой коэффициент (тангенс угла наклона) касательной в точке с абсциссой $x_0$:

$y'(x) = (3 - \frac{1}{2}x^2)' = -x$.

Уравнение касательной к графику функции в точке $(x_0, y(x_0))$ имеет вид: $y_{кас} = y(x_0) + y'(x_0)(x - x_0)$.

Так как касательные проводятся из одной точки $B$, лежащей на оси симметрии параболы (оси $y$), точки касания будут симметричны относительно этой оси. Пусть абсциссы точек касания равны $x_1 = x_0$ и $x_2 = -x_0$ (при $x_0 \ne 0$).

Угловые коэффициенты этих двух касательных равны:

$k_1 = y'(x_0) = -x_0$

$k_2 = y'(-x_0) = -(-x_0) = x_0$

По условию, касательные образуют угол 90°, то есть они перпендикулярны. Условие перпендикулярности двух прямых (не параллельных осям координат) состоит в том, что произведение их угловых коэффициентов равно -1:

$k_1 \cdot k_2 = -1$

Подставим значения угловых коэффициентов:

$(-x_0) \cdot (x_0) = -1$

$-x_0^2 = -1$

$x_0^2 = 1$

Отсюда находим, что абсциссы точек касания равны $1$ и $-1$.

Теперь найдем ординату точки $B$. Касательная, проведенная в точке с абсциссой $x_0$, проходит через точку $B(0, y_B)$. Запишем уравнение касательной и подставим в него координаты точки $B$.

$y_B = y(x_0) + y'(x_0)(0 - x_0) = y(x_0) - x_0 \cdot y'(x_0)$

Подставим выражения для $y(x_0)$ и $y'(x_0)$:

$y_B = (3 - \frac{1}{2}x_0^2) - x_0(-x_0) = 3 - \frac{1}{2}x_0^2 + x_0^2 = 3 + \frac{1}{2}x_0^2$

Мы ранее нашли, что $x_0^2 = 1$. Подставим это значение в полученное выражение для $y_B$:

$y_B = 3 + \frac{1}{2}(1) = 3.5$

Таким образом, координаты точки $B$ равны $(0, 3.5)$.

Ответ: $(0; 3,5)$

б)

Рассмотрим функцию $y(x) = 0.5x^2 - 2.5$. Это парабола, симметричная относительно оси $y$. Найдем ее производную:

$y'(x) = (0.5x^2 - 2.5)' = x$.

Касательные пересекаются на оси $y$ под углом 90°. Аналогично пункту а), найдем абсциссы точек касания. Пусть это будут $x_t$ и $-x_t$. Угловые коэффициенты касательных в этих точках:

$k_1 = y'(x_t) = x_t$

$k_2 = y'(-x_t) = -x_t$

Из условия перпендикулярности $k_1 \cdot k_2 = -1$ получаем:

$(x_t) \cdot (-x_t) = -1$

$-x_t^2 = -1$

$x_t^2 = 1$

Следовательно, абсциссы точек касания равны $1$ и $-1$. Теперь составим уравнения для каждой касательной, используя формулу $y_{кас} = y(x_0) + y'(x_0)(x - x_0)$.

Случай 1: точка касания с абсциссой $x_1 = 1$.

Найдем ординату точки касания: $y(1) = 0.5(1)^2 - 2.5 = 0.5 - 2.5 = -2$. Точка касания: $(1, -2)$.

Найдем угловой коэффициент: $k_1 = y'(1) = 1$.

Составим уравнение касательной: $y - (-2) = 1(x - 1)$, что дает $y + 2 = x - 1$. Отсюда $y = x - 3$.

Случай 2: точка касания с абсциссой $x_2 = -1$.

Найдем ординату точки касания: $y(-1) = 0.5(-1)^2 - 2.5 = 0.5 - 2.5 = -2$. Точка касания: $(-1, -2)$.

Найдем угловой коэффициент: $k_2 = y'(-1) = -1$.

Составим уравнение касательной: $y - (-2) = -1(x - (-1))$, что дает $y + 2 = -1(x+1)$. Отсюда $y + 2 = -x - 1$, и окончательно $y = -x - 3$.

Ответ: $y = x - 3$ и $y = -x - 3$.