Страница 259, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

43.47. a) $f(x) = \sqrt{3-x}, B(-2; 3);$

б) $f(x) = \sqrt{3-x}, B(4; 0).$

а) Чтобы проверить, принадлежит ли точка с заданными координатами графику функции, необходимо подставить эти координаты в уравнение функции. Для точки $B(-2; 3)$ имеем $x = -2$ и $y = 3$. Подставим значение $x$ в функцию $f(x) = \sqrt{3 - x}$:

$f(-2) = \sqrt{3 - (-2)} = \sqrt{3 + 2} = \sqrt{5}$.

Полученное значение функции $f(-2) = \sqrt{5}$ не равно ординате точки $B$, которая равна 3 (поскольку $3 = \sqrt{9}$). Так как $\sqrt{5} \neq 3$, точка $B(-2; 3)$ не принадлежит графику функции.

Ответ: не принадлежит.

б) Проверим, принадлежит ли точка $B(4; 0)$ графику функции $f(x) = \sqrt{3 - x}$. Для этого сначала определим область определения функции. Выражение, находящееся под знаком квадратного корня, должно быть неотрицательным:

$3 - x \ge 0$

$x \le 3$

Таким образом, область определения функции $D(f) = (-\infty; 3]$.

Абсцисса (координата $x$) точки $B$ равна 4. Поскольку $4$ не входит в область определения функции ($4 > 3$), значение функции в точке $x = 4$ не определено в области действительных чисел. Следовательно, точка $B(4; 0)$ не может принадлежать графику данной функции.

Ответ: не принадлежит.

43.48. a) $f(x) = \sqrt{4x - 3}$, B(2; 3);

б) $f(x) = \sqrt{2x + 1}$, B(1; 2).

а) Для того чтобы определить, принадлежит ли точка с заданными координатами графику функции, необходимо подставить эти координаты в уравнение функции. Если в результате подстановки получится верное равенство, то точка принадлежит графику.

Для точки $B(2; 3)$ имеем $x=2$ и $y=3$. Проверим, выполняется ли равенство $y = f(x)$ для функции $f(x) = \sqrt{4x - 3}$.

Подставим значение $x=2$ в выражение для функции:

$f(2) = \sqrt{4 \cdot 2 - 3} = \sqrt{8 - 3} = \sqrt{5}$.

Теперь сравним полученное значение $f(2)$ с y-координатой точки $B$, которая равна 3.

Мы получили, что $f(2) = \sqrt{5}$. Так как $\sqrt{5} \neq 3$ (поскольку $3 = \sqrt{9}$), равенство не выполняется.

Следовательно, точка $B(2; 3)$ не лежит на графике функции $f(x) = \sqrt{4x - 3}$.

Ответ: точка B не принадлежит графику функции.

б) Проведем аналогичную проверку для функции $f(x) = \sqrt{2x + 1}$ и точки $B(1; 2)$.

Координаты точки $B(1; 2)$ это $x=1$ и $y=2$. Подставим значение $x=1$ в выражение для функции:

$f(1) = \sqrt{2 \cdot 1 + 1} = \sqrt{2 + 1} = \sqrt{3}$.

Теперь сравним полученное значение $f(1)$ с y-координатой точки $B$, которая равна 2.

Мы получили, что $f(1) = \sqrt{3}$. Так как $\sqrt{3} \neq 2$ (поскольку $2 = \sqrt{4}$), равенство не выполняется.

Следовательно, точка $B(1; 2)$ не лежит на графике функции $f(x) = \sqrt{2x + 1}$.

Ответ: точка B не принадлежит графику функции.

43.49. а) Найдите все значения $x$, при каждом из которых касательная к графику функции $y = \cos 7x + 7 \cos x$ в точках с абсциссой $x$ параллельна касательной к этому же графику в точке с абсциссой $\frac{\pi}{6}$.

б) Найдите все значения $a$, при каждом из которых касательные к графикам функций $y = 2 - 14 \sin 3x$ и $y = 6 \sin 7x$ в точках с абсциссой $x = a$ параллельны.

а)

Условие параллельности касательных в точках с абсциссами $x$ и $x_0$ — это равенство их угловых коэффициентов. Угловой коэффициент касательной к графику функции $y(x)$ в точке с абсциссой $x$ равен значению производной $y'(x)$ в этой точке. Таким образом, нам нужно найти все $x$, для которых выполняется равенство $y'(x) = y'(\frac{\pi}{6})$.

Заданная функция: $y(x) = \cos(7x) + 7\cos(x)$.

Найдем её производную, используя правило дифференцирования сложной функции и суммы функций: $y'(x) = (\cos(7x))' + (7\cos(x))' = -\sin(7x) \cdot (7x)' - 7\sin(x) = -7\sin(7x) - 7\sin(x)$.

Теперь найдем значение производной в точке с абсциссой $x_0 = \frac{\pi}{6}$: $y'(\frac{\pi}{6}) = -7\sin(7 \cdot \frac{\pi}{6}) - 7\sin(\frac{\pi}{6})$.

Вычислим значения синусов: $\sin(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{2}$ и $\sin(\frac{7\pi}{6}) = \sin(\pi + \frac{\pi}{6}) = -\sin(\frac{\pi}{6}) = -\frac{1}{2}$. Подставим эти значения в выражение для производной: $y'(\frac{\pi}{6}) = -7(-\frac{1}{2}) - 7(\frac{1}{2}) = \frac{7}{2} - \frac{7}{2} = 0$.

Теперь нам нужно решить уравнение $y'(x) = 0$: $-7\sin(7x) - 7\sin(x) = 0$ $\sin(7x) + \sin(x) = 0$.

Для решения этого уравнения воспользуемся формулой суммы синусов: $\sin \alpha + \sin \beta = 2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2}$. $2\sin\frac{7x+x}{2}\cos\frac{7x-x}{2} = 0$ $2\sin(4x)\cos(3x) = 0$.

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Это приводит к двум совокупным уравнениям:

1) $\sin(4x) = 0$ $4x = \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$ $x = \frac{\pi k}{4}$, где $k \in \mathbb{Z}$.

2) $\cos(3x) = 0$ $3x = \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$ $x = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi n}{3}$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Объединяя решения обоих уравнений, получаем все искомые значения $x$.

Ответ: $x = \frac{\pi k}{4}$; $x = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi n}{3}$, где $k, n \in \mathbb{Z}$.

б)

Условие параллельности касательных к графикам функций $y_1(x) = 2 - 14\sin(3x)$ и $y_2(x) = 6\sin(7x)$ в точке с абсциссой $x=a$ заключается в равенстве значений их производных в этой точке: $y_1'(a) = y_2'(a)$.

Найдем производные заданных функций:

$y_1'(x) = (2 - 14\sin(3x))' = 0 - 14\cos(3x) \cdot (3x)' = -42\cos(3x)$.

$y_2'(x) = (6\sin(7x))' = 6\cos(7x) \cdot (7x)' = 42\cos(7x)$.

Теперь приравняем значения производных в точке $x=a$ и решим полученное уравнение относительно $a$: $y_1'(a) = y_2'(a)$ $-42\cos(3a) = 42\cos(7a)$ $\cos(7a) + \cos(3a) = 0$.

Для решения этого уравнения воспользуемся формулой суммы косинусов: $\cos \alpha + \cos \beta = 2\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2}$. $2\cos\frac{7a+3a}{2}\cos\frac{7a-3a}{2} = 0$ $2\cos(5a)\cos(2a) = 0$.

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Это приводит к двум совокупным уравнениям:

1) $\cos(5a) = 0$ $5a = \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$ $a = \frac{\pi}{10} + \frac{\pi k}{5} = \frac{\pi(1+2k)}{10}$, где $k \in \mathbb{Z}$.

2) $\cos(2a) = 0$ $2a = \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$ $a = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2} = \frac{\pi(1+2n)}{4}$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Объединяя решения обоих уравнений, получаем все искомые значения $a$.

Ответ: $a = \frac{\pi(2k+1)}{10}$; $a = \frac{\pi(2n+1)}{4}$, где $k, n \in \mathbb{Z}$.

43.50. a) Составьте уравнение касательной к графику функции $y = \frac{1}{x^2}, x > 0$, отсекающей от осей координат треугольник, площадь которого равна 2,25.

б) Составьте уравнение касательной к графику функции $y = \frac{1}{x^2}, x < 0$, отсекающей от осей координат треугольник, площадь которого равна $\frac{9}{8}$.

а)

1. Общее уравнение касательной к графику функции $f(x)$ в точке $x_0$ имеет вид: $y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$.

2. Для функции $y = f(x) = \frac{1}{x^2} = x^{-2}$ найдем ее производную:

$f'(x) = (x^{-2})' = -2x^{-3} = -\frac{2}{x^3}$.

3. Запишем уравнение касательной для произвольной точки касания $x_0 > 0$:

$f(x_0) = \frac{1}{x_0^2}$

$f'(x_0) = -\frac{2}{x_0^3}$

$y = \frac{1}{x_0^2} - \frac{2}{x_0^3}(x - x_0)$

4. Найдем точки пересечения этой касательной с осями координат, чтобы определить катеты треугольника.

Пересечение с осью OY (подставляем $x = 0$):

$y_{OY} = \frac{1}{x_0^2} - \frac{2}{x_0^3}(0 - x_0) = \frac{1}{x_0^2} + \frac{2x_0}{x_0^3} = \frac{1}{x_0^2} + \frac{2}{x_0^2} = \frac{3}{x_0^2}$.

Пересечение с осью OX (подставляем $y = 0$):

$0 = \frac{1}{x_0^2} - \frac{2}{x_0^3}(x - x_0)$

$\frac{2}{x_0^3}(x - x_0) = \frac{1}{x_0^2}$

$2(x - x_0) = x_0$

$2x = 3x_0$

$x_{OX} = \frac{3}{2}x_0$.

5. Касательная отсекает от осей координат прямоугольный треугольник. Так как по условию $x_0 > 0$, то $x_{OX} > 0$ и $y_{OY} > 0$. Длины катетов равны $x_{OX}$ и $y_{OY}$.

Площадь этого треугольника $S$ равна:

$S = \frac{1}{2} \cdot x_{OX} \cdot y_{OY} = \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{2}x_0 \cdot \frac{3}{x_0^2} = \frac{9x_0}{4x_0^2} = \frac{9}{4x_0}$.

6. По условию задачи, площадь треугольника равна 2,25. Заметим, что $2,25 = \frac{9}{4}$. Составим и решим уравнение:

$\frac{9}{4x_0} = \frac{9}{4}$

$4x_0 = 4 \Rightarrow x_0 = 1$.

Значение $x_0 = 1$ удовлетворяет условию $x > 0$.

7. Подставим $x_0=1$ в уравнение касательной:

$y = \frac{1}{1^2} - \frac{2}{1^3}(x - 1) = 1 - 2(x-1) = 1 - 2x + 2 = -2x + 3$.

Ответ: $y = -2x + 3$.

б)

1. Аналогично пункту а), используем уравнение касательной $y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$ для функции $f(x) = \frac{1}{x^2}$ и ее производной $f'(x) = -\frac{2}{x^3}$. Точки пересечения с осями также сохраняют свой вид: $x_{OX} = \frac{3}{2}x_0$ и $y_{OY} = \frac{3}{x_0^2}$.

2. В данном случае, по условию $x < 0$, следовательно, точка касания $x_0 < 0$.

Это означает, что $x_{OX} = \frac{3}{2}x_0 < 0$, а $y_{OY} = \frac{3}{x_0^2} > 0$.

3. Треугольник, отсекаемый касательной, находится во второй координатной четверти. Длины его катетов равны абсолютным значениям координат пересечения:

Длина катета по оси OX: $|x_{OX}| = |\frac{3}{2}x_0| = -\frac{3}{2}x_0$ (так как $x_0 < 0$).

Длина катета по оси OY: $|y_{OY}| = |\frac{3}{x_0^2}| = \frac{3}{x_0^2}$.

4. Площадь этого треугольника $S$ равна:

$S = \frac{1}{2} \cdot |x_{OX}| \cdot |y_{OY}| = \frac{1}{2} \cdot (-\frac{3}{2}x_0) \cdot \frac{3}{x_0^2} = -\frac{9x_0}{4x_0^2} = -\frac{9}{4x_0}$.

5. По условию, площадь равна $\frac{9}{8}$. Составим и решим уравнение:

$-\frac{9}{4x_0} = \frac{9}{8}$

Разделим обе части на 9:

$-\frac{1}{4x_0} = \frac{1}{8}$

$4x_0 = -8 \Rightarrow x_0 = -2$.

Значение $x_0 = -2$ удовлетворяет условию $x < 0$.

6. Найдем уравнение касательной в точке $x_0 = -2$:

$f(-2) = \frac{1}{(-2)^2} = \frac{1}{4}$.

$f'(-2) = -\frac{2}{(-2)^3} = -\frac{2}{-8} = \frac{1}{4}$.

$y = f(-2) + f'(-2)(x - (-2)) = \frac{1}{4} + \frac{1}{4}(x + 2) = \frac{1}{4} + \frac{1}{4}x + \frac{2}{4} = \frac{1}{4}x + \frac{3}{4}$.

Ответ: $y = \frac{1}{4}x + \frac{3}{4}$.

43.51. a) Составьте уравнение касательной к графику функции $y = x^3, x > 0$, отсекающей от осей координат треугольник, площадь которого равна $\frac{2}{3}$.

б) Составьте уравнение касательной к графику функции $y = x^3, x < 0$, отсекающей от осей координат треугольник, площадь которого равна $\frac{27}{8}$.

а)

Найдём общее уравнение касательной к графику функции $y = f(x) = x^3$ в произвольной точке с абсциссой $x_0$. Уравнение касательной имеет вид: $y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$. Найдём производную функции: $f'(x) = (x^3)' = 3x^2$. Значение функции в точке касания: $f(x_0) = x_0^3$. Значение производной в точке касания: $f'(x_0) = 3x_0^2$. Подставив эти значения, получим уравнение касательной: $y = x_0^3 + 3x_0^2(x - x_0) = x_0^3 + 3x_0^2 x - 3x_0^3 = 3x_0^2 x - 2x_0^3$.

Теперь найдём точки пересечения этой касательной с осями координат. Для пересечения с осью Oy, подставим $x=0$: $y_{пер} = 3x_0^2 \cdot 0 - 2x_0^3 = -2x_0^3$. Для пересечения с осью Ox, подставим $y=0$: $0 = 3x_0^2 x_{пер} - 2x_0^3$. Поскольку по условию $x > 0$, точка касания $x_0 \neq 0$, поэтому можно разделить на $3x_0^2$: $x_{пер} = \frac{2x_0^3}{3x_0^2} = \frac{2}{3}x_0$.

Касательная отсекает от осей координат прямоугольный треугольник. Его катеты равны модулям координат точек пересечения. Площадь этого треугольника $S$ вычисляется по формуле: $S = \frac{1}{2} |x_{пер}| \cdot |y_{пер}| = \frac{1}{2} \left| \frac{2}{3}x_0 \right| \cdot |-2x_0^3| = \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3}|x_0| \cdot 2|x_0^3| = \frac{2}{3}|x_0^4|$. Так как $x_0^4$ всегда неотрицательно, $S = \frac{2}{3}x_0^4$.

По условию задачи, площадь треугольника равна $\frac{2}{3}$. Составим уравнение: $\frac{2}{3}x_0^4 = \frac{2}{3}$. Отсюда следует, что $x_0^4 = 1$. Учитывая условие $x > 0$, получаем единственный корень $x_0 = 1$.

Подставим найденное значение $x_0 = 1$ в общее уравнение касательной $y = 3x_0^2 x - 2x_0^3$: $y = 3(1)^2 x - 2(1)^3 = 3x - 2$.

Ответ: $y = 3x - 2$.

б)

Для этого пункта используется тот же подход, что и в пункте а). Общее уравнение касательной к графику $y=x^3$ и формула для площади отсекаемого треугольника остаются прежними: $y = 3x_0^2 x - 2x_0^3$ и $S = \frac{2}{3}x_0^4$. Однако, в этом случае условие на абсциссу точки касания $x_0 < 0$.

По условию, площадь треугольника равна $\frac{27}{8}$. Составим и решим уравнение: $\frac{2}{3}x_0^4 = \frac{27}{8}$. $x_0^4 = \frac{27}{8} \cdot \frac{3}{2} = \frac{81}{16}$. Из этого уравнения находим два действительных корня: $x_0 = \pm\sqrt[4]{\frac{81}{16}} = \pm\frac{3}{2}$.

Согласно условию задачи $x < 0$, мы должны выбрать отрицательный корень: $x_0 = -\frac{3}{2}$. Подставим это значение в уравнение касательной: $y = 3\left(-\frac{3}{2}\right)^2 x - 2\left(-\frac{3}{2}\right)^3 = 3\left(\frac{9}{4}\right)x - 2\left(-\frac{27}{8}\right)$. $y = \frac{27}{4}x + \frac{54}{8} = \frac{27}{4}x + \frac{27}{4}$.

Ответ: $y = \frac{27}{4}x + \frac{27}{4}$.

43.52. a) На оси $y$ взята точка B, из неё проведены касательные к графику функции $y = 3 - \frac{1}{2}x^2$. Известно, что эти касательные образуют между собой угол $90^{\circ}$. Найдите координаты точки B.

б) Составьте уравнения тех касательных к графику функции $y = 0,5x^2 - 2,5$, которые пересекаются под углом $90^{\circ}$ в точке, лежащей на оси $y$.

а)

Пусть точка $B$ имеет координаты $(0, y_B)$, так как она лежит на оси $y$.

Дана функция $y(x) = 3 - \frac{1}{2}x^2$. Найдем ее производную, которая задает угловой коэффициент (тангенс угла наклона) касательной в точке с абсциссой $x_0$:

$y'(x) = (3 - \frac{1}{2}x^2)' = -x$.

Уравнение касательной к графику функции в точке $(x_0, y(x_0))$ имеет вид: $y_{кас} = y(x_0) + y'(x_0)(x - x_0)$.

Так как касательные проводятся из одной точки $B$, лежащей на оси симметрии параболы (оси $y$), точки касания будут симметричны относительно этой оси. Пусть абсциссы точек касания равны $x_1 = x_0$ и $x_2 = -x_0$ (при $x_0 \ne 0$).

Угловые коэффициенты этих двух касательных равны:

$k_1 = y'(x_0) = -x_0$

$k_2 = y'(-x_0) = -(-x_0) = x_0$

По условию, касательные образуют угол 90°, то есть они перпендикулярны. Условие перпендикулярности двух прямых (не параллельных осям координат) состоит в том, что произведение их угловых коэффициентов равно -1:

$k_1 \cdot k_2 = -1$

Подставим значения угловых коэффициентов:

$(-x_0) \cdot (x_0) = -1$

$-x_0^2 = -1$

$x_0^2 = 1$

Отсюда находим, что абсциссы точек касания равны $1$ и $-1$.

Теперь найдем ординату точки $B$. Касательная, проведенная в точке с абсциссой $x_0$, проходит через точку $B(0, y_B)$. Запишем уравнение касательной и подставим в него координаты точки $B$.

$y_B = y(x_0) + y'(x_0)(0 - x_0) = y(x_0) - x_0 \cdot y'(x_0)$

Подставим выражения для $y(x_0)$ и $y'(x_0)$:

$y_B = (3 - \frac{1}{2}x_0^2) - x_0(-x_0) = 3 - \frac{1}{2}x_0^2 + x_0^2 = 3 + \frac{1}{2}x_0^2$

Мы ранее нашли, что $x_0^2 = 1$. Подставим это значение в полученное выражение для $y_B$:

$y_B = 3 + \frac{1}{2}(1) = 3.5$

Таким образом, координаты точки $B$ равны $(0, 3.5)$.

Ответ: $(0; 3,5)$

б)

Рассмотрим функцию $y(x) = 0.5x^2 - 2.5$. Это парабола, симметричная относительно оси $y$. Найдем ее производную:

$y'(x) = (0.5x^2 - 2.5)' = x$.

Касательные пересекаются на оси $y$ под углом 90°. Аналогично пункту а), найдем абсциссы точек касания. Пусть это будут $x_t$ и $-x_t$. Угловые коэффициенты касательных в этих точках:

$k_1 = y'(x_t) = x_t$

$k_2 = y'(-x_t) = -x_t$

Из условия перпендикулярности $k_1 \cdot k_2 = -1$ получаем:

$(x_t) \cdot (-x_t) = -1$

$-x_t^2 = -1$

$x_t^2 = 1$

Следовательно, абсциссы точек касания равны $1$ и $-1$. Теперь составим уравнения для каждой касательной, используя формулу $y_{кас} = y(x_0) + y'(x_0)(x - x_0)$.

Случай 1: точка касания с абсциссой $x_1 = 1$.

Найдем ординату точки касания: $y(1) = 0.5(1)^2 - 2.5 = 0.5 - 2.5 = -2$. Точка касания: $(1, -2)$.

Найдем угловой коэффициент: $k_1 = y'(1) = 1$.

Составим уравнение касательной: $y - (-2) = 1(x - 1)$, что дает $y + 2 = x - 1$. Отсюда $y = x - 3$.

Случай 2: точка касания с абсциссой $x_2 = -1$.

Найдем ординату точки касания: $y(-1) = 0.5(-1)^2 - 2.5 = 0.5 - 2.5 = -2$. Точка касания: $(-1, -2)$.

Найдем угловой коэффициент: $k_2 = y'(-1) = -1$.

Составим уравнение касательной: $y - (-2) = -1(x - (-1))$, что дает $y + 2 = -1(x+1)$. Отсюда $y + 2 = -x - 1$, и окончательно $y = -x - 3$.

Ответ: $y = x - 3$ и $y = -x - 3$.