Страница 258, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

43.42. Составьте уравнение той касательной к графику функ-ции $y = f(x)$, которая образует с осью $x$ заданный угол $\alpha$,если:

a) $f(x) = \frac{1}{\sqrt{3}}x^3 - 3\sqrt{3}x, \alpha = 60^{\circ}$;

б) $f(x) = \frac{4}{\sqrt{3}}x - \frac{\sqrt{3}}{3}x^3, \alpha = 30^{\circ}$.

а)

Уравнение касательной к графику функции $y = f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$ имеет вид $y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$.

Угловой коэффициент касательной $k$ равен тангенсу угла наклона касательной $\alpha$ к положительному направлению оси Ox. Таким образом, $k = \tan(\alpha)$. Также известно, что угловой коэффициент равен значению производной в точке касания, то есть $k = f'(x_0)$.

Для функции $f(x) = \frac{1}{\sqrt{3}}x^3 - 3\sqrt{3}x$ и угла $\alpha = 60^\circ$ необходимо выполнить следующие шаги:

1. Найти производную функции $f(x)$:

$f'(x) = \left(\frac{1}{\sqrt{3}}x^3 - 3\sqrt{3}x\right)' = \frac{1}{\sqrt{3}} \cdot 3x^2 - 3\sqrt{3} = \sqrt{3}x^2 - 3\sqrt{3}$.

2. Вычислить угловой коэффициент $k$:

$k = \tan(60^\circ) = \sqrt{3}$.

3. Найти абсциссу точки касания $x_0$, решив уравнение $f'(x_0) = k$:

$\sqrt{3}x_0^2 - 3\sqrt{3} = \sqrt{3}$

Разделим обе части на $\sqrt{3}$:

$x_0^2 - 3 = 1$

$x_0^2 = 4$

Уравнение имеет два корня: $x_0 = 2$ и $x_0 = -2$. Это означает, что существуют две касательные, удовлетворяющие условию.

4. Найти уравнения для каждой касательной.

Для $x_0 = 2$:

Находим ординату точки касания: $y_0 = f(2) = \frac{1}{\sqrt{3}}(2)^3 - 3\sqrt{3}(2) = \frac{8}{\sqrt{3}} - 6\sqrt{3} = \frac{8\sqrt{3}}{3} - \frac{18\sqrt{3}}{3} = -\frac{10\sqrt{3}}{3}$.

Составляем уравнение касательной: $y = y_0 + k(x - x_0)$

$y = -\frac{10\sqrt{3}}{3} + \sqrt{3}(x - 2)$

$y = \sqrt{3}x - 2\sqrt{3} - \frac{10\sqrt{3}}{3}$

$y = \sqrt{3}x - \frac{6\sqrt{3} + 10\sqrt{3}}{3}$

$y = \sqrt{3}x - \frac{16\sqrt{3}}{3}$.

Для $x_0 = -2$:

Находим ординату точки касания: $y_0 = f(-2) = \frac{1}{\sqrt{3}}(-2)^3 - 3\sqrt{3}(-2) = -\frac{8}{\sqrt{3}} + 6\sqrt{3} = -\frac{8\sqrt{3}}{3} + \frac{18\sqrt{3}}{3} = \frac{10\sqrt{3}}{3}$.

Составляем уравнение касательной: $y = y_0 + k(x - x_0)$

$y = \frac{10\sqrt{3}}{3} + \sqrt{3}(x - (-2))$

$y = \sqrt{3}x + 2\sqrt{3} + \frac{10\sqrt{3}}{3}$

$y = \sqrt{3}x + \frac{6\sqrt{3} + 10\sqrt{3}}{3}$

$y = \sqrt{3}x + \frac{16\sqrt{3}}{3}$.

Ответ: $y = \sqrt{3}x - \frac{16\sqrt{3}}{3}$ и $y = \sqrt{3}x + \frac{16\sqrt{3}}{3}$.

б)

Для функции $f(x) = \frac{4}{\sqrt{3}}x - \frac{\sqrt{3}}{3}x^3$ и угла $\alpha = 30^\circ$ найдем уравнение касательной, следуя тому же алгоритму.

1. Найти производную функции $f(x)$:

$f'(x) = \left(\frac{4}{\sqrt{3}}x - \frac{\sqrt{3}}{3}x^3\right)' = \frac{4}{\sqrt{3}} - \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot 3x^2 = \frac{4}{\sqrt{3}} - \sqrt{3}x^2$.

2. Вычислить угловой коэффициент $k$:

$k = \tan(30^\circ) = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$.

3. Найти абсциссу точки касания $x_0$ из уравнения $f'(x_0) = k$:

$\frac{4}{\sqrt{3}} - \sqrt{3}x_0^2 = \frac{1}{\sqrt{3}}$

Умножим обе части на $\sqrt{3}$:

$4 - 3x_0^2 = 1$

$3x_0^2 = 3$

$x_0^2 = 1$

Уравнение имеет два корня: $x_0 = 1$ и $x_0 = -1$.

4. Найти уравнения для каждой касательной.

Для $x_0 = 1$:

Находим ординату точки касания: $y_0 = f(1) = \frac{4}{\sqrt{3}}(1) - \frac{\sqrt{3}}{3}(1)^3 = \frac{4\sqrt{3}}{3} - \frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{3\sqrt{3}}{3} = \sqrt{3}$.

Составляем уравнение касательной: $y = y_0 + k(x - x_0)$

$y = \sqrt{3} + \frac{\sqrt{3}}{3}(x - 1)$

$y = \frac{\sqrt{3}}{3}x - \frac{\sqrt{3}}{3} + \sqrt{3}$

$y = \frac{\sqrt{3}}{3}x + \frac{2\sqrt{3}}{3}$.

Для $x_0 = -1$:

Находим ординату точки касания: $y_0 = f(-1) = \frac{4}{\sqrt{3}}(-1) - \frac{\sqrt{3}}{3}(-1)^3 = -\frac{4\sqrt{3}}{3} + \frac{\sqrt{3}}{3} = -\frac{3\sqrt{3}}{3} = -\sqrt{3}$.

Составляем уравнение касательной: $y = y_0 + k(x - x_0)$

$y = -\sqrt{3} + \frac{\sqrt{3}}{3}(x - (-1))$

$y = \frac{\sqrt{3}}{3}x + \frac{\sqrt{3}}{3} - \sqrt{3}$

$y = \frac{\sqrt{3}}{3}x - \frac{2\sqrt{3}}{3}$.

Ответ: $y = \frac{\sqrt{3}}{3}x + \frac{2\sqrt{3}}{3}$ и $y = \frac{\sqrt{3}}{3}x - \frac{2\sqrt{3}}{3}$.

43.43. a) Вычислите координаты точек пересечения с осью y тех касательных к графику функции $y = \frac{3x - 1}{x + 8}$, которые образуют угол 45° с осью x.

б) Вычислите координаты точек пересечения с осью y тех касательных к графику функции $y = \frac{x + 4}{x - 5}$, которые образуют угол 135° с осью x.

a)

Угловой коэффициент $k$ касательной к графику функции в точке $x_0$ равен значению производной функции в этой точке, $k = y'(x_0)$. Также угловой коэффициент равен тангенсу угла $\alpha$, который касательная образует с положительным направлением оси Ox: $k = \tan(\alpha)$.

По условию, касательные образуют угол 45° с осью $x$, следовательно, их угловой коэффициент равен $k = \tan(45^\circ) = 1$.

Найдем производную функции $y = \frac{3x - 1}{x + 8}$ по правилу дифференцирования частного:
$y' = \left(\frac{3x - 1}{x + 8}\right)' = \frac{(3x - 1)'(x + 8) - (3x - 1)(x + 8)'}{(x + 8)^2} = \frac{3(x + 8) - (3x - 1) \cdot 1}{(x + 8)^2} = \frac{3x + 24 - 3x + 1}{(x + 8)^2} = \frac{25}{(x + 8)^2}$.

Чтобы найти абсциссы $x_0$ точек касания, приравняем производную к угловому коэффициенту $k=1$:
$\frac{25}{(x_0 + 8)^2} = 1$
$(x_0 + 8)^2 = 25$
Отсюда находим два значения для $x_0$:
$x_0 + 8 = 5 \implies x_0 = -3$
$x_0 + 8 = -5 \implies x_0 = -13$

Найдем соответствующие ординаты точек касания $y_0 = y(x_0)$:
При $x_0 = -3$, $y_0 = \frac{3(-3) - 1}{-3 + 8} = \frac{-10}{5} = -2$. Точка касания: $M_1(-3, -2)$.
При $x_0 = -13$, $y_0 = \frac{3(-13) - 1}{-13 + 8} = \frac{-40}{-5} = 8$. Точка касания: $M_2(-13, 8)$.

Составим уравнения касательных, используя формулу $y = k(x - x_0) + y_0$:
1. Для точки $M_1(-3, -2)$: $y = 1(x - (-3)) + (-2) = x + 3 - 2 = x + 1$.
2. Для точки $M_2(-13, 8)$: $y = 1(x - (-13)) + 8 = x + 13 + 8 = x + 21$.

Для нахождения координат точек пересечения касательных с осью $y$, подставим $x = 0$ в их уравнения:
1. $y = 0 + 1 = 1$. Точка пересечения $(0, 1)$.
2. $y = 0 + 21 = 21$. Точка пересечения $(0, 21)$.

Ответ: $(0, 1)$ и $(0, 21)$.

б)

Угол наклона касательных к оси $x$ составляет 135°. Угловой коэффициент $k$ этих касательных: $k = \tan(135^\circ) = -1$.

Найдем производную функции $y = \frac{x + 4}{x - 5}$:
$y' = \left(\frac{x + 4}{x - 5}\right)' = \frac{(x + 4)'(x - 5) - (x + 4)(x - 5)'}{(x - 5)^2} = \frac{1(x - 5) - (x + 4) \cdot 1}{(x - 5)^2} = \frac{x - 5 - x - 4}{(x - 5)^2} = \frac{-9}{(x - 5)^2}$.

Найдем абсциссы точек касания $x_0$, решив уравнение $y'(x_0) = k$:
$\frac{-9}{(x_0 - 5)^2} = -1$
$(x_0 - 5)^2 = 9$
Находим два значения $x_0$:
$x_0 - 5 = 3 \implies x_0 = 8$
$x_0 - 5 = -3 \implies x_0 = 2$

Найдем соответствующие ординаты точек касания $y_0 = y(x_0)$:
При $x_0 = 8$, $y_0 = \frac{8 + 4}{8 - 5} = \frac{12}{3} = 4$. Точка касания: $M_1(8, 4)$.
При $x_0 = 2$, $y_0 = \frac{2 + 4}{2 - 5} = \frac{6}{-3} = -2$. Точка касания: $M_2(2, -2)$.

Составим уравнения касательных $y = k(x - x_0) + y_0$:
1. Для точки $M_1(8, 4)$: $y = -1(x - 8) + 4 = -x + 8 + 4 = -x + 12$.
2. Для точки $M_2(2, -2)$: $y = -1(x - 2) + (-2) = -x + 2 - 2 = -x$.

Найдем точки пересечения касательных с осью $y$, подставив $x=0$:
1. $y = -0 + 12 = 12$. Координаты точки пересечения $(0, 12)$.
2. $y = -0 = 0$. Координаты точки пересечения $(0, 0)$.

Ответ: $(0, 12)$ и $(0, 0)$.

43.44. Составьте уравнение параболы $y = x^2 + bx + c$, касающейся прямой $y = -x$ в точке $M(1; -1)$.

Для того чтобы найти коэффициенты $b$ и $c$ в уравнении параболы $y = x^2 + bx + c$, мы должны использовать два условия, которые следуют из формулировки задачи.

1. Условие прохождения через точку.
Поскольку парабола касается прямой в точке $M(1; -1)$, это означает, что сама парабола проходит через эту точку. Следовательно, координаты точки $M$ должны удовлетворять уравнению параболы. Подставим $x=1$ и $y=-1$ в уравнение $y = x^2 + bx + c$:
$-1 = (1)^2 + b \cdot 1 + c$
$-1 = 1 + b + c$
Из этого мы получаем первое уравнение, связывающее $b$ и $c$:
$b + c = -2$

2. Условие касания.
Касание кривой и прямой в точке означает, что в этой точке их угловые коэффициенты равны. Угловой коэффициент касательной к параболе в любой точке равен значению ее производной в этой точке.
Найдем производную функции $y(x) = x^2 + bx + c$:
$y'(x) = (x^2 + bx + c)' = 2x + b$
Вычислим значение производной в точке касания, где абсцисса $x = 1$:
$y'(1) = 2 \cdot 1 + b = 2 + b$
Угловой коэффициент прямой $y = -x$ равен коэффициенту при $x$, то есть $-1$.
Так как в точке касания угловые коэффициенты равны, мы можем приравнять полученные значения:
$2 + b = -1$
Отсюда легко найти значение $b$:
$b = -1 - 2 = -3$

Нахождение коэффициента $c$ и итоговое уравнение.
Теперь, зная $b = -3$, мы можем подставить это значение в первое уравнение, которое мы получили ($b + c = -2$):
$-3 + c = -2$
$c = -2 + 3 = 1$
Мы нашли оба неизвестных коэффициента: $b = -3$ и $c = 1$. Теперь можем составить окончательное уравнение параболы:
$y = x^2 - 3x + 1$

Ответ: $y = x^2 - 3x + 1$

43.45. Проведите касательную к графику функции $y = x^2 + 1$, проходящую через точку A, не принадлежащую этому графику, если:

а) $A(-1; -2)$;

б) $A(0; 0)$;

в) $A(0; -3)$;

г) $A(-1; 1)$.

Общий подход для решения всех подпунктов:Уравнение касательной к графику функции $y = f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$ имеет вид:$y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$.Для нашей функции $f(x) = x^2 + 1$, найдем производную:$f'(x) = (x^2 + 1)' = 2x$.Тогда $f(x_0) = x_0^2 + 1$ и $f'(x_0) = 2x_0$.Подставим эти значения в общее уравнение касательной:$y = (x_0^2 + 1) + 2x_0(x - x_0)$$y = x_0^2 + 1 + 2x_0x - 2x_0^2$$y = 2x_0x - x_0^2 + 1$Это уравнение касательной к графику функции в произвольной точке $x_0$. Нам нужно, чтобы эта касательная проходила через заданную точку A. Для этого подставим координаты точки A в уравнение касательной и найдем значение $x_0$.

а) A(-1; -2)

Подставим координаты точки $A(x=-1, y=-2)$ в уравнение касательной $y = 2x_0x - x_0^2 + 1$:$-2 = 2x_0(-1) - x_0^2 + 1$$-2 = -2x_0 - x_0^2 + 1$Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить квадратное уравнение относительно $x_0$:$x_0^2 + 2x_0 - 3 = 0$Решим это уравнение. Можно использовать теорему Виета: сумма корней равна -2, произведение равно -3. Корни: $x_{0_1} = 1$ и $x_{0_2} = -3$.Это означает, что существуют две касательные, проходящие через точку A. Найдем их уравнения.

1. Для $x_0 = 1$:$y = 2(1)x - (1)^2 + 1 = 2x - 1 + 1 = 2x$

2. Для $x_0 = -3$:$y = 2(-3)x - (-3)^2 + 1 = -6x - 9 + 1 = -6x - 8$

Ответ: $y = 2x$ и $y = -6x - 8$.

б) A(0; 0)

Подставим координаты точки $A(x=0, y=0)$ в уравнение касательной $y = 2x_0x - x_0^2 + 1$:$0 = 2x_0(0) - x_0^2 + 1$$0 = -x_0^2 + 1$$x_0^2 = 1$Отсюда получаем два значения для $x_0$: $x_{0_1} = 1$ и $x_{0_2} = -1$.Найдем уравнения двух касательных.

1. Для $x_0 = 1$:$y = 2(1)x - (1)^2 + 1 = 2x$

2. Для $x_0 = -1$:$y = 2(-1)x - (-1)^2 + 1 = -2x - 1 + 1 = -2x$

Ответ: $y = 2x$ и $y = -2x$.

в) A(0; -3)

Подставим координаты точки $A(x=0, y=-3)$ в уравнение касательной $y = 2x_0x - x_0^2 + 1$:$-3 = 2x_0(0) - x_0^2 + 1$$-3 = -x_0^2 + 1$$x_0^2 = 4$Отсюда получаем два значения для $x_0$: $x_{0_1} = 2$ и $x_{0_2} = -2$.Найдем уравнения двух касательных.

1. Для $x_0 = 2$:$y = 2(2)x - (2)^2 + 1 = 4x - 4 + 1 = 4x - 3$

2. Для $x_0 = -2$:$y = 2(-2)x - (-2)^2 + 1 = -4x - 4 + 1 = -4x - 3$

Ответ: $y = 4x - 3$ и $y = -4x - 3$.

г) A(-1; 1)

Подставим координаты точки $A(x=-1, y=1)$ в уравнение касательной $y = 2x_0x - x_0^2 + 1$:$1 = 2x_0(-1) - x_0^2 + 1$$1 = -2x_0 - x_0^2 + 1$$x_0^2 + 2x_0 = 0$Вынесем $x_0$ за скобки:$x_0(x_0 + 2) = 0$Отсюда получаем два значения для $x_0$: $x_{0_1} = 0$ и $x_{0_2} = -2$.Найдем уравнения двух касательных.

1. Для $x_0 = 0$:$y = 2(0)x - (0)^2 + 1 = 1$

2. Для $x_0 = -2$:$y = 2(-2)x - (-2)^2 + 1 = -4x - 4 + 1 = -4x - 3$

Ответ: $y = 1$ и $y = -4x - 3$.

43.46. Через данную точку $B$ проведите касательную к графику функции $y = f(x)$:

a) $f(x) = -x^2 - 7x + 8, B(1; 1);$

б) $f(x) = -x^2 - 7x + 8, B(0; 9).$

Через данную точку $B$ проведите касательную к графику функции $y = f(x)$:

Общий подход к решению задачи заключается в следующем. Уравнение касательной к графику функции $y=f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$ имеет вид:

$y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$

Поскольку касательная должна проходить через заданную точку $B(x_B, y_B)$, координаты этой точки должны удовлетворять уравнению касательной. Подставив их в уравнение, мы получим уравнение относительно $x_0$, решив которое, найдем абсциссу точки (или точек) касания. После этого можно составить уравнение самой касательной.

Дана функция $f(x) = -x^2 - 7x + 8$ и точка $B(1; 1)$.

1. Найдем производную функции:

$f'(x) = (-x^2 - 7x + 8)' = -2x - 7$.

2. Пусть $A(x_0, f(x_0))$ — точка касания. Уравнение касательной в этой точке:

$y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$

$y = (-x_0^2 - 7x_0 + 8) + (-2x_0 - 7)(x - x_0)$

3. Касательная проходит через точку $B(1; 1)$, поэтому подставим ее координаты ($x=1, y=1$) в уравнение касательной, чтобы найти $x_0$:

$1 = (-x_0^2 - 7x_0 + 8) + (-2x_0 - 7)(1 - x_0)$

4. Решим полученное уравнение:

$1 = -x_0^2 - 7x_0 + 8 - 2x_0 + 2x_0^2 - 7 + 7x_0$

Приведем подобные члены:

$1 = (-x_0^2 + 2x_0^2) + (-7x_0 - 2x_0 + 7x_0) + (8 - 7)$

$1 = x_0^2 - 2x_0 + 1$

$x_0^2 - 2x_0 = 0$

$x_0(x_0 - 2) = 0$

Мы получили два значения для абсциссы точки касания: $x_{01} = 0$ и $x_{02} = 2$. Это означает, что из точки $B$ можно провести две касательные к графику функции.

5. Найдем уравнения этих касательных:

Случай 1: $x_0 = 0$

$f(0) = -0^2 - 7(0) + 8 = 8$

$f'(0) = -2(0) - 7 = -7$

Уравнение первой касательной: $y = 8 - 7(x - 0)$, то есть $y = -7x + 8$.

Случай 2: $x_0 = 2$

$f(2) = -(2)^2 - 7(2) + 8 = -4 - 14 + 8 = -10$

$f'(2) = -2(2) - 7 = -4 - 7 = -11$

Уравнение второй касательной: $y = -10 - 11(x - 2) = -10 - 11x + 22$, то есть $y = -11x + 12$.

Ответ: $y = -7x + 8$ и $y = -11x + 12$.

Дана функция $f(x) = -x^2 - 7x + 8$ и точка $B(0; 9)$.

1. Производная функции нам уже известна: $f'(x) = -2x - 7$.

2. Уравнение касательной в точке $A(x_0, f(x_0))$:

$y = (-x_0^2 - 7x_0 + 8) + (-2x_0 - 7)(x - x_0)$

3. Касательная проходит через точку $B(0; 9)$. Подставим ее координаты ($x=0, y=9$) в уравнение:

$9 = (-x_0^2 - 7x_0 + 8) + (-2x_0 - 7)(0 - x_0)$

4. Решим это уравнение относительно $x_0$:

$9 = -x_0^2 - 7x_0 + 8 + 2x_0^2 + 7x_0$

Приведем подобные члены:

$9 = (-x_0^2 + 2x_0^2) + (-7x_0 + 7x_0) + 8$

$9 = x_0^2 + 8$

$x_0^2 = 1$

Получаем два значения для абсциссы точки касания: $x_{01} = 1$ и $x_{02} = -1$.

5. Найдем уравнения для каждой касательной:

Случай 1: $x_0 = 1$

$f(1) = -(1)^2 - 7(1) + 8 = -1 - 7 + 8 = 0$

$f'(1) = -2(1) - 7 = -9$

Уравнение первой касательной: $y = 0 - 9(x - 1)$, то есть $y = -9x + 9$.

Случай 2: $x_0 = -1$

$f(-1) = -(-1)^2 - 7(-1) + 8 = -1 + 7 + 8 = 14$

$f'(-1) = -2(-1) - 7 = 2 - 7 = -5$

Уравнение второй касательной: $y = 14 - 5(x - (-1)) = 14 - 5(x + 1) = 14 - 5x - 5$, то есть $y = -5x + 9$.

Ответ: $y = -9x + 9$ и $y = -5x + 9$.