Номер 43.42, страница 258, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

43.42. Составьте уравнение той касательной к графику функ-ции $y = f(x)$, которая образует с осью $x$ заданный угол $\alpha$,если:

a) $f(x) = \frac{1}{\sqrt{3}}x^3 - 3\sqrt{3}x, \alpha = 60^{\circ}$;

б) $f(x) = \frac{4}{\sqrt{3}}x - \frac{\sqrt{3}}{3}x^3, \alpha = 30^{\circ}$.

а)

Уравнение касательной к графику функции $y = f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$ имеет вид $y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$.

Угловой коэффициент касательной $k$ равен тангенсу угла наклона касательной $\alpha$ к положительному направлению оси Ox. Таким образом, $k = \tan(\alpha)$. Также известно, что угловой коэффициент равен значению производной в точке касания, то есть $k = f'(x_0)$.

Для функции $f(x) = \frac{1}{\sqrt{3}}x^3 - 3\sqrt{3}x$ и угла $\alpha = 60^\circ$ необходимо выполнить следующие шаги:

1. Найти производную функции $f(x)$:

$f'(x) = \left(\frac{1}{\sqrt{3}}x^3 - 3\sqrt{3}x\right)' = \frac{1}{\sqrt{3}} \cdot 3x^2 - 3\sqrt{3} = \sqrt{3}x^2 - 3\sqrt{3}$.

2. Вычислить угловой коэффициент $k$:

$k = \tan(60^\circ) = \sqrt{3}$.

3. Найти абсциссу точки касания $x_0$, решив уравнение $f'(x_0) = k$:

$\sqrt{3}x_0^2 - 3\sqrt{3} = \sqrt{3}$

Разделим обе части на $\sqrt{3}$:

$x_0^2 - 3 = 1$

$x_0^2 = 4$

Уравнение имеет два корня: $x_0 = 2$ и $x_0 = -2$. Это означает, что существуют две касательные, удовлетворяющие условию.

4. Найти уравнения для каждой касательной.

Для $x_0 = 2$:

Находим ординату точки касания: $y_0 = f(2) = \frac{1}{\sqrt{3}}(2)^3 - 3\sqrt{3}(2) = \frac{8}{\sqrt{3}} - 6\sqrt{3} = \frac{8\sqrt{3}}{3} - \frac{18\sqrt{3}}{3} = -\frac{10\sqrt{3}}{3}$.

Составляем уравнение касательной: $y = y_0 + k(x - x_0)$

$y = -\frac{10\sqrt{3}}{3} + \sqrt{3}(x - 2)$

$y = \sqrt{3}x - 2\sqrt{3} - \frac{10\sqrt{3}}{3}$

$y = \sqrt{3}x - \frac{6\sqrt{3} + 10\sqrt{3}}{3}$

$y = \sqrt{3}x - \frac{16\sqrt{3}}{3}$.

Для $x_0 = -2$:

Находим ординату точки касания: $y_0 = f(-2) = \frac{1}{\sqrt{3}}(-2)^3 - 3\sqrt{3}(-2) = -\frac{8}{\sqrt{3}} + 6\sqrt{3} = -\frac{8\sqrt{3}}{3} + \frac{18\sqrt{3}}{3} = \frac{10\sqrt{3}}{3}$.

Составляем уравнение касательной: $y = y_0 + k(x - x_0)$

$y = \frac{10\sqrt{3}}{3} + \sqrt{3}(x - (-2))$

$y = \sqrt{3}x + 2\sqrt{3} + \frac{10\sqrt{3}}{3}$

$y = \sqrt{3}x + \frac{6\sqrt{3} + 10\sqrt{3}}{3}$

$y = \sqrt{3}x + \frac{16\sqrt{3}}{3}$.

Ответ: $y = \sqrt{3}x - \frac{16\sqrt{3}}{3}$ и $y = \sqrt{3}x + \frac{16\sqrt{3}}{3}$.

б)

Для функции $f(x) = \frac{4}{\sqrt{3}}x - \frac{\sqrt{3}}{3}x^3$ и угла $\alpha = 30^\circ$ найдем уравнение касательной, следуя тому же алгоритму.

1. Найти производную функции $f(x)$:

$f'(x) = \left(\frac{4}{\sqrt{3}}x - \frac{\sqrt{3}}{3}x^3\right)' = \frac{4}{\sqrt{3}} - \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot 3x^2 = \frac{4}{\sqrt{3}} - \sqrt{3}x^2$.

2. Вычислить угловой коэффициент $k$:

$k = \tan(30^\circ) = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$.

3. Найти абсциссу точки касания $x_0$ из уравнения $f'(x_0) = k$:

$\frac{4}{\sqrt{3}} - \sqrt{3}x_0^2 = \frac{1}{\sqrt{3}}$

Умножим обе части на $\sqrt{3}$:

$4 - 3x_0^2 = 1$

$3x_0^2 = 3$

$x_0^2 = 1$

Уравнение имеет два корня: $x_0 = 1$ и $x_0 = -1$.

4. Найти уравнения для каждой касательной.

Для $x_0 = 1$:

Находим ординату точки касания: $y_0 = f(1) = \frac{4}{\sqrt{3}}(1) - \frac{\sqrt{3}}{3}(1)^3 = \frac{4\sqrt{3}}{3} - \frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{3\sqrt{3}}{3} = \sqrt{3}$.

Составляем уравнение касательной: $y = y_0 + k(x - x_0)$

$y = \sqrt{3} + \frac{\sqrt{3}}{3}(x - 1)$

$y = \frac{\sqrt{3}}{3}x - \frac{\sqrt{3}}{3} + \sqrt{3}$

$y = \frac{\sqrt{3}}{3}x + \frac{2\sqrt{3}}{3}$.

Для $x_0 = -1$:

Находим ординату точки касания: $y_0 = f(-1) = \frac{4}{\sqrt{3}}(-1) - \frac{\sqrt{3}}{3}(-1)^3 = -\frac{4\sqrt{3}}{3} + \frac{\sqrt{3}}{3} = -\frac{3\sqrt{3}}{3} = -\sqrt{3}$.

Составляем уравнение касательной: $y = y_0 + k(x - x_0)$

$y = -\sqrt{3} + \frac{\sqrt{3}}{3}(x - (-1))$

$y = \frac{\sqrt{3}}{3}x + \frac{\sqrt{3}}{3} - \sqrt{3}$

$y = \frac{\sqrt{3}}{3}x - \frac{2\sqrt{3}}{3}$.

Ответ: $y = \frac{\sqrt{3}}{3}x + \frac{2\sqrt{3}}{3}$ и $y = \frac{\sqrt{3}}{3}x - \frac{2\sqrt{3}}{3}$.