Номер 43.41, страница 257, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

043.41. а) На графике функции $y = x^3 - 3x^2 + x + 1$ найдите точки, в которых касательная образует с положительным направлением оси абсцисс угол $45^\circ$. Составьте уравнения этих касательных.

б) На графике функции $y = \frac{3x + 7}{x + 2}$ найдите точки, в которых касательная образует с положительным направлением оси абсцисс угол $135^\circ$. Составьте уравнения этих касательных.

а)

Дана функция $y = x^3 - 3x^2 + x + 1$. Угловой коэффициент касательной $k$ к графику функции в точке $x_0$ равен значению производной функции в этой точке, то есть $k = y'(x_0)$. Геометрический смысл производной заключается в том, что она равна тангенсу угла $\alpha$, который касательная образует с положительным направлением оси абсцисс: $k = \tan(\alpha)$.

По условию задачи, угол наклона касательной составляет $\alpha = 45^\circ$. Найдем угловой коэффициент: $k = \tan(45^\circ) = 1$.

Теперь найдем производную функции $y(x)$: $y' = (x^3 - 3x^2 + x + 1)' = 3x^2 - 6x + 1$.

Чтобы найти абсциссы точек касания, приравняем производную к найденному угловому коэффициенту: $y'(x_0) = 1$ $3x_0^2 - 6x_0 + 1 = 1$ $3x_0^2 - 6x_0 = 0$ $3x_0(x_0 - 2) = 0$ Отсюда получаем две абсциссы точек касания: $x_{0_1} = 0$ и $x_{0_2} = 2$.

Найдем соответствующие ординаты этих точек, подставив найденные значения $x_0$ в исходное уравнение функции: При $x_0 = 0$: $y_0 = 0^3 - 3(0)^2 + 0 + 1 = 1$. Таким образом, первая точка касания – $(0; 1)$. При $x_0 = 2$: $y_0 = 2^3 - 3(2)^2 + 2 + 1 = 8 - 12 + 2 + 1 = -1$. Таким образом, вторая точка касания – $(2; -1)$.

Теперь составим уравнения касательных, используя общую формулу $y = y_0 + k(x - x_0)$. Для точки $(0; 1)$ с угловым коэффициентом $k=1$: $y = 1 + 1 \cdot (x - 0)$ $y = x + 1$

Для точки $(2; -1)$ с угловым коэффициентом $k=1$: $y = -1 + 1 \cdot (x - 2)$ $y = -1 + x - 2$ $y = x - 3$

Ответ: точки касания $(0; 1)$ и $(2; -1)$, уравнения касательных $y = x + 1$ и $y = x - 3$.

б)

Дана функция $y = \frac{3x + 7}{x + 2}$. По условию, касательная образует с положительным направлением оси абсцисс угол $\alpha = 135^\circ$. Найдем угловой коэффициент касательной $k$: $k = \tan(135^\circ) = \tan(180^\circ - 45^\circ) = -\tan(45^\circ) = -1$.

Найдем производную функции $y(x)$, используя правило дифференцирования частного $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$: $y' = \left(\frac{3x + 7}{x + 2}\right)' = \frac{(3x + 7)'(x + 2) - (3x + 7)(x + 2)'}{(x + 2)^2} = \frac{3(x + 2) - (3x + 7) \cdot 1}{(x + 2)^2} = \frac{3x + 6 - 3x - 7}{(x + 2)^2} = \frac{-1}{(x + 2)^2}$.

Приравняем значение производной к угловому коэффициенту $k=-1$, чтобы найти абсциссы точек касания $x_0$: $\frac{-1}{(x_0 + 2)^2} = -1$ $(x_0 + 2)^2 = 1$ Из этого уравнения получаем два случая: 1) $x_0 + 2 = 1 \implies x_{0_1} = -1$ 2) $x_0 + 2 = -1 \implies x_{0_2} = -3$

Найдем ординаты этих точек, подставив значения $x_0$ в исходное уравнение функции: При $x_0 = -1$: $y_0 = \frac{3(-1) + 7}{-1 + 2} = \frac{4}{1} = 4$. Первая точка касания – $(-1; 4)$. При $x_0 = -3$: $y_0 = \frac{3(-3) + 7}{-3 + 2} = \frac{-2}{-1} = 2$. Вторая точка касания – $(-3; 2)$.

Составим уравнения касательных для каждой точки с угловым коэффициентом $k=-1$. Для точки $(-1; 4)$: $y = 4 + (-1) \cdot (x - (-1))$ $y = 4 - (x + 1)$ $y = 4 - x - 1$ $y = -x + 3$

Для точки $(-3; 2)$: $y = 2 + (-1) \cdot (x - (-3))$ $y = 2 - (x + 3)$ $y = 2 - x - 3$ $y = -x - 1$

Ответ: точки касания $(-1; 4)$ и $(-3; 2)$, уравнения касательных $y = -x + 3$ и $y = -x - 1$.