Номер 43.40, страница 257, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

43.39. a) $y = 1 + x^{2}$;

б) $y = \sqrt{1 - 2x}$.

43.40. a) $y = \arccos x$;

б) $y = \operatorname{arcctg} x$.

а) $y = \arccos x$

Чтобы найти производную функции $y = \arccos x$, мы воспользуемся правилом дифференцирования обратной функции. Из определения арккосинуса, если $y = \arccos x$, то $x = \cos y$. Область значений функции арккосинус: $y \in [0, \pi]$.

Продифференцируем неявно равенство $x = \cos y$ по переменной $x$, считая $y$ функцией от $x$: $(x)'_x = (\cos y)'_x$

Производная левой части равна 1. Для правой части используем правило дифференцирования сложной функции: $1 = (\cos y)'_y \cdot y'_x$ $1 = (-\sin y) \cdot y'$

Отсюда выражаем $y'$: $y' = -\frac{1}{\sin y}$

Теперь необходимо выразить $\sin y$ через $x$. Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством: $\sin^2 y + \cos^2 y = 1$. Отсюда $\sin^2 y = 1 - \cos^2 y$. Поскольку $x = \cos y$, мы можем записать $\sin^2 y = 1 - x^2$.

Так как $y \in [0, \pi]$, то $\sin y \ge 0$. Производная существует при $\sin y \neq 0$, то есть при $y \in (0, \pi)$. На этом интервале $\sin y$ строго положителен, поэтому мы берем положительное значение корня: $\sin y = \sqrt{1 - x^2}$

Подставляем это выражение в формулу для $y'$: $y' = -\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}$

Ответ: $y' = -\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}$.

б) $y = \arcctg x$

Аналогично предыдущему пункту, воспользуемся правилом дифференцирования обратной функции. Из определения арккотангенса, если $y = \arcctg x$, то $x = \ctg y$. Область значений функции арккотангенс: $y \in (0, \pi)$.

Продифференцируем неявно равенство $x = \ctg y$ по переменной $x$: $(x)'_x = (\ctg y)'_x$

Используя правило дифференцирования сложной функции для правой части, получаем: $1 = (\ctg y)'_y \cdot y'_x$ $1 = \left(-\frac{1}{\sin^2 y}\right) \cdot y'$

Выразим $y'$: $y' = -\sin^2 y$

Теперь выразим $\sin^2 y$ через $x$. Используем тригонометрическое тождество: $1 + \ctg^2 y = \frac{1}{\sin^2 y}$. Из этого тождества следует, что $\sin^2 y = \frac{1}{1 + \ctg^2 y}$.

Поскольку $x = \ctg y$, мы можем подставить $x$ в это выражение: $\sin^2 y = \frac{1}{1 + x^2}$

Подставляем полученное выражение в формулу для $y'$: $y' = -\frac{1}{1 + x^2}$

Ответ: $y' = -\frac{1}{1 + x^2}$.