Номер 43.37, страница 257, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

К графику заданной функции проведите касательную так, чтобы она была параллельна прямой $y = 2 - x$:

43.37. a) $y = \frac{x^3}{3} + \frac{5}{2}x^2 - x$;

б) $y = \frac{x^3}{3} + x^2 - x$.

Условие параллельности двух прямых — равенство их угловых коэффициентов. Угловой коэффициент прямой $y = 2 - x$ равен $k = -1$.

Угловой коэффициент касательной к графику функции $y = f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$ равен значению производной в этой точке: $k_{кас} = f'(x_0)$.

Следовательно, нам нужно найти точки $x_0$, в которых производная заданной функции равна $-1$.

Общее уравнение касательной в точке $(x_0, y_0)$ имеет вид: $y = y_0 + f'(x_0)(x - x_0)$.

a) Дана функция $y = \frac{x^3}{3} + \frac{5}{2}x^2 - x$.

1. Найдем производную функции: $y' = (\frac{x^3}{3} + \frac{5}{2}x^2 - x)' = \frac{1}{3} \cdot 3x^2 + \frac{5}{2} \cdot 2x - 1 = x^2 + 5x - 1$.

2. Приравняем производную к угловому коэффициенту $k = -1$, чтобы найти абсциссы точек касания $x_0$: $x_0^2 + 5x_0 - 1 = -1$ $x_0^2 + 5x_0 = 0$ $x_0(x_0 + 5) = 0$ Получаем две точки касания: $x_{0_1} = 0$ и $x_{0_2} = -5$.

3. Найдем уравнения касательных для каждой точки.

Для $x_0 = 0$: Найдем ординату точки касания: $y_0 = \frac{0^3}{3} + \frac{5}{2} \cdot 0^2 - 0 = 0$. Точка касания — $(0, 0)$. Уравнение касательной: $y = 0 + (-1)(x - 0)$ $y = -x$

Для $x_0 = -5$: Найдем ординату точки касания: $y_0 = \frac{(-5)^3}{3} + \frac{5}{2}(-5)^2 - (-5) = -\frac{125}{3} + \frac{5}{2} \cdot 25 + 5 = -\frac{125}{3} + \frac{125}{2} + 5$ $y_0 = \frac{-250 + 375 + 30}{6} = \frac{155}{6}$. Точка касания — $(-5, \frac{155}{6})$. Уравнение касательной: $y = \frac{155}{6} + (-1)(x - (-5))$ $y = \frac{155}{6} - (x + 5)$ $y = \frac{155}{6} - x - 5$ $y = -x + \frac{155 - 30}{6}$ $y = -x + \frac{125}{6}$

Ответ: $y = -x$ и $y = -x + \frac{125}{6}$.

б) Дана функция $y = \frac{x^3}{3} + x^2 - x$.

1. Найдем производную функции: $y' = (\frac{x^3}{3} + x^2 - x)' = \frac{1}{3} \cdot 3x^2 + 2x - 1 = x^2 + 2x - 1$.

2. Приравняем производную к угловому коэффициенту $k = -1$, чтобы найти абсциссы точек касания $x_0$: $x_0^2 + 2x_0 - 1 = -1$ $x_0^2 + 2x_0 = 0$ $x_0(x_0 + 2) = 0$ Получаем две точки касания: $x_{0_1} = 0$ и $x_{0_2} = -2$.

3. Найдем уравнения касательных для каждой точки.

Для $x_0 = 0$: Найдем ординату точки касания: $y_0 = \frac{0^3}{3} + 0^2 - 0 = 0$. Точка касания — $(0, 0)$. Уравнение касательной: $y = 0 + (-1)(x - 0)$ $y = -x$

Для $x_0 = -2$: Найдем ординату точки касания: $y_0 = \frac{(-2)^3}{3} + (-2)^2 - (-2) = -\frac{8}{3} + 4 + 2 = -\frac{8}{3} + 6$ $y_0 = \frac{-8 + 18}{3} = \frac{10}{3}$. Точка касания — $(-2, \frac{10}{3})$. Уравнение касательной: $y = \frac{10}{3} + (-1)(x - (-2))$ $y = \frac{10}{3} - (x + 2)$ $y = \frac{10}{3} - x - 2$ $y = -x + \frac{10 - 6}{3}$ $y = -x + \frac{4}{3}$

Ответ: $y = -x$ и $y = -x + \frac{4}{3}$.