Номер 43.33, страница 257, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

43.33. Напишите уравнения тех касательных к графику функции $y = \arcsin x$, которые параллельны заданной прямой:

а) $y = 2x - 3$;

б) $y = x + 2$.

а) Касательная к графику функции $y = \arcsin x$ параллельна прямой $y = 2x - 3$, если их угловые коэффициенты равны. Угловой коэффициент прямой $y = 2x - 3$ равен $k=2$. Угловой коэффициент касательной в точке с абсциссой $x_0$ равен значению производной $y'(x_0)$.

Найдем производную функции $y = \arcsin x$:

$y' = (\arcsin x)' = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$

Приравняем производную к заданному угловому коэффициенту, чтобы найти абсциссу точки касания $x_0$:

$\frac{1}{\sqrt{1-x_0^2}} = 2$

Решим полученное уравнение:

$\sqrt{1-x_0^2} = \frac{1}{2}$

Возведем обе части в квадрат:

$1 - x_0^2 = \frac{1}{4}$

$x_0^2 = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$

$x_0 = \pm\frac{\sqrt{3}}{2}$

Таким образом, существует две точки касания. Найдем уравнения касательных для каждой из них, используя общую формулу уравнения касательной $y = y_0 + k(x-x_0)$, где $y_0 = \arcsin(x_0)$.

1. Для точки касания с абсциссой $x_0 = \frac{\sqrt{3}}{2}$ ордината равна $y_0 = \arcsin\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = \frac{\pi}{3}$. Уравнение касательной:

$y = \frac{\pi}{3} + 2\left(x - \frac{\sqrt{3}}{2}\right)$

$y = \frac{\pi}{3} + 2x - \sqrt{3}$

2. Для точки касания с абсциссой $x_0 = -\frac{\sqrt{3}}{2}$ ордината равна $y_0 = \arcsin\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = -\frac{\pi}{3}$. Уравнение касательной:

$y = -\frac{\pi}{3} + 2\left(x - \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)\right)$

$y = -\frac{\pi}{3} + 2\left(x + \frac{\sqrt{3}}{2}\right)$

$y = -\frac{\pi}{3} + 2x + \sqrt{3}$

Ответ: $y = 2x - \sqrt{3} + \frac{\pi}{3}$ и $y = 2x + \sqrt{3} - \frac{\pi}{3}$.

б) Прямая $y = x + 2$ имеет угловой коэффициент $k=1$. Искомая касательная будет параллельна этой прямой, если ее угловой коэффициент также равен 1.

Приравняем производную функции $y = \arcsin x$ к 1, чтобы найти абсциссу точки касания $x_0$:

$\frac{1}{\sqrt{1-x_0^2}} = 1$

Решим уравнение:

$\sqrt{1-x_0^2} = 1$

$1 - x_0^2 = 1$

$x_0^2 = 0 \implies x_0 = 0$

Существует одна точка касания с абсциссой $x_0 = 0$.

Найдем ординату этой точки: $y_0 = \arcsin(0) = 0$.

Точка касания — $(0, 0)$.

Напишем уравнение касательной, проходящей через точку $(0,0)$ с угловым коэффициентом $k=1$:

$y - 0 = 1(x - 0)$

$y = x$

Ответ: $y=x$.