Номер 43.30, страница 256, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

43.30. Напишите уравнения касательных к параболе:

a) $y = x^2 - 3x$ в точках с ординатой 4;

б) $y = -x^2 + 5x$ в точках с ординатой 6.

а) Для параболы $y = x^2 - 3x$ необходимо найти уравнения касательных в точках с ординатой $y=4$.
1. Найдем точки касания. Для этого подставим значение ординаты $y=4$ в уравнение параболы:
$4 = x^2 - 3x$
$x^2 - 3x - 4 = 0$
Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4(1)(-4) = 9 + 16 = 25$.
Корни уравнения: $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 \pm \sqrt{25}}{2} = \frac{3 \pm 5}{2}$.
Получаем два значения для абсциссы: $x_1 = \frac{3+5}{2} = 4$ и $x_2 = \frac{3-5}{2} = -1$.
Таким образом, у нас есть две точки касания: $A(4, 4)$ и $B(-1, 4)$.
2. Найдем производную функции. Уравнение касательной в точке $x_0$ имеет вид $y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$. Производная нашей функции $f(x) = x^2 - 3x$ равна:
$f'(x) = (x^2 - 3x)' = 2x - 3$.
3. Составим уравнения касательных.
Для точки $A(4, 4)$:
$x_0 = 4$, $f(x_0) = 4$.
Найдем угловой коэффициент касательной (значение производной в этой точке): $k_1 = f'(4) = 2(4) - 3 = 5$.
Уравнение касательной: $y = 4 + 5(x - 4) \Rightarrow y = 4 + 5x - 20 \Rightarrow y = 5x - 16$.
Для точки $B(-1, 4)$:
$x_0 = -1$, $f(x_0) = 4$.
Найдем угловой коэффициент: $k_2 = f'(-1) = 2(-1) - 3 = -5$.
Уравнение касательной: $y = 4 - 5(x - (-1)) \Rightarrow y = 4 - 5(x+1) \Rightarrow y = 4 - 5x - 5 \Rightarrow y = -5x - 1$.
Ответ: $y = 5x - 16$ и $y = -5x - 1$.

б) Для параболы $y = -x^2 + 5x$ необходимо найти уравнения касательных в точках с ординатой $y=6$.
1. Найдем точки касания. Подставим $y=6$ в уравнение параболы:
$6 = -x^2 + 5x$
$x^2 - 5x + 6 = 0$
Решим это квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна 5, а произведение равно 6. Корни: $x_1 = 2$ и $x_2 = 3$.
Таким образом, у нас есть две точки касания: $C(2, 6)$ и $D(3, 6)$.
2. Найдем производную функции. Для функции $f(x) = -x^2 + 5x$ производная равна:
$f'(x) = (-x^2 + 5x)' = -2x + 5$.
3. Составим уравнения касательных.
Для точки $C(2, 6)$:
$x_0 = 2$, $f(x_0) = 6$.
Угловой коэффициент: $k_1 = f'(2) = -2(2) + 5 = 1$.
Уравнение касательной: $y = 6 + 1(x - 2) \Rightarrow y = 6 + x - 2 \Rightarrow y = x + 4$.
Для точки $D(3, 6)$:
$x_0 = 3$, $f(x_0) = 6$.
Угловой коэффициент: $k_2 = f'(3) = -2(3) + 5 = -1$.
Уравнение касательной: $y = 6 - 1(x - 3) \Rightarrow y = 6 - x + 3 \Rightarrow y = -x + 9$.
Ответ: $y = x + 4$ и $y = -x + 9$.