Номер 43.25, страница 255, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

43.25. a) $f(x) = \cos \frac{x}{3}, a = 0;$

Б) $f(x) = \operatorname{ctg} 2x, a = \frac{\pi}{4};$

В) $f(x) = \sin 2x, a = \frac{\pi}{4};$

Г) $f(x) = 2 \operatorname{tg} \frac{x}{3}, a = 0.$

а) Для функции $f(x) = \cos(\frac{x}{3})$ в точке $a = 0$.

Задача состоит в том, чтобы найти значение производной функции $f(x)$ в точке $a$. Это обозначается как $f'(a)$.

1. Находим производную функции $f(x)$.
Функция $f(x) = \cos(\frac{x}{3})$ является сложной функцией. Для нахождения ее производной воспользуемся правилом дифференцирования сложной функции (цепным правилом): $(g(h(x)))' = g'(h(x)) \cdot h'(x)$.
Здесь внешняя функция $g(u) = \cos(u)$, а внутренняя функция $h(x) = \frac{x}{3}$.
Производная внешней функции: $(\cos(u))' = -\sin(u)$.
Производная внутренней функции: $(\frac{x}{3})' = \frac{1}{3}$.
Таким образом, производная $f(x)$ равна:
$f'(x) = -\sin(\frac{x}{3}) \cdot (\frac{x}{3})' = -\sin(\frac{x}{3}) \cdot \frac{1}{3} = -\frac{1}{3}\sin(\frac{x}{3})$.

2. Вычисляем значение производной в точке $a = 0$.
Подставим $x = 0$ в выражение для производной:
$f'(0) = -\frac{1}{3}\sin(\frac{0}{3}) = -\frac{1}{3}\sin(0)$.
Так как $\sin(0) = 0$, получаем:
$f'(0) = -\frac{1}{3} \cdot 0 = 0$.

Ответ: $0$

б) Для функции $f(x) = \operatorname{ctg}(2x)$ в точке $a = \frac{\pi}{4}$.

1. Находим производную функции $f(x)$.
Используем цепное правило. Внешняя функция $g(u) = \operatorname{ctg}(u)$, внутренняя $h(x) = 2x$.
Производная внешней функции: $(\operatorname{ctg}(u))' = -\frac{1}{\sin^2(u)}$.
Производная внутренней функции: $(2x)' = 2$.
Производная $f(x)$ равна:
$f'(x) = -\frac{1}{\sin^2(2x)} \cdot (2x)' = -\frac{1}{\sin^2(2x)} \cdot 2 = -\frac{2}{\sin^2(2x)}$.

2. Вычисляем значение производной в точке $a = \frac{\pi}{4}$.
Подставляем $x = \frac{\pi}{4}$:
$f'(\frac{\pi}{4}) = -\frac{2}{\sin^2(2 \cdot \frac{\pi}{4})} = -\frac{2}{\sin^2(\frac{\pi}{2})}$.
Так как $\sin(\frac{\pi}{2}) = 1$, получаем:
$f'(\frac{\pi}{4}) = -\frac{2}{1^2} = -2$.

Ответ: $-2$

в) Для функции $f(x) = \sin(2x)$ в точке $a = \frac{\pi}{4}$.

1. Находим производную функции $f(x)$.
Используем цепное правило. Внешняя функция $g(u) = \sin(u)$, внутренняя $h(x) = 2x$.
Производная внешней функции: $(\sin(u))' = \cos(u)$.
Производная внутренней функции: $(2x)' = 2$.
Производная $f(x)$ равна:
$f'(x) = \cos(2x) \cdot (2x)' = \cos(2x) \cdot 2 = 2\cos(2x)$.

2. Вычисляем значение производной в точке $a = \frac{\pi}{4}$.
Подставляем $x = \frac{\pi}{4}$:
$f'(\frac{\pi}{4}) = 2\cos(2 \cdot \frac{\pi}{4}) = 2\cos(\frac{\pi}{2})$.
Так как $\cos(\frac{\pi}{2}) = 0$, получаем:
$f'(\frac{\pi}{4}) = 2 \cdot 0 = 0$.

Ответ: $0$

г) Для функции $f(x) = 2\operatorname{tg}(\frac{x}{3})$ в точке $a = 0$.

1. Находим производную функции $f(x)$.
Используем правило дифференцирования произведения на константу и цепное правило. Внешняя функция $g(u) = \operatorname{tg}(u)$, внутренняя $h(x) = \frac{x}{3}$.
Производная внешней функции: $(\operatorname{tg}(u))' = \frac{1}{\cos^2(u)}$.
Производная внутренней функции: $(\frac{x}{3})' = \frac{1}{3}$.
Производная $f(x)$ равна:
$f'(x) = 2 \cdot (\operatorname{tg}(\frac{x}{3}))' = 2 \cdot \frac{1}{\cos^2(\frac{x}{3})} \cdot (\frac{x}{3})' = 2 \cdot \frac{1}{\cos^2(\frac{x}{3})} \cdot \frac{1}{3} = \frac{2}{3\cos^2(\frac{x}{3})}$.

2. Вычисляем значение производной в точке $a = 0$.
Подставляем $x = 0$:
$f'(0) = \frac{2}{3\cos^2(\frac{0}{3})} = \frac{2}{3\cos^2(0