Номер 43.25, страница 255, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

43.25. a) $f(x) = \cos \frac{x}{3}, a = 0;$

б) $f(x) = \operatorname{ctg} 2x, a = \frac{\pi}{4};$

в) $f(x) = \sin 2x, a = \frac{\pi}{4};$

г) $f(x) = 2 \operatorname{tg} \frac{x}{3}, a = 0.$

В этой задаче требуется составить уравнение касательной к графику функции $f(x)$ в точке с абсциссой $x = a$. Общее уравнение касательной имеет вид:

$$y = f(a) + f'(a)(x - a)$$

а) $f(x) = \cos \frac{x}{3}, a = 0$

1. Находим значение функции: $f(0) = \cos 0 = 1$.
2. Находим производную: $f'(x) = -\sin(\frac{x}{3}) \cdot \frac{1}{3} = -\frac{1}{3} \sin \frac{x}{3}$.
3. Вычисляем значение производной: $f'(0) = -\frac{1}{3} \sin 0 = 0$.
4. Составляем уравнение: $y = 1 + 0(x - 0) \Rightarrow y = 1$.

Ответ: $y = 1$

б) $f(x) = \operatorname{ctg} 2x, a = \frac{\pi}{4}$

1. Находим значение функции: $f(\frac{\pi}{4}) = \operatorname{ctg}(\frac{\pi}{2}) = 0$.
2. Находим производную: $f'(x) = -\frac{1}{\sin^2 2x} \cdot 2 = -\frac{2}{\sin^2 2x}$.
3. Вычисляем значение производной: $f'(\frac{\pi}{4}) = -\frac{2}{\sin^2(\pi/2)} = -\frac{2}{1^2} = -2$.
4. Составляем уравнение: $y = 0 - 2(x - \frac{\pi}{4}) \Rightarrow y = -2x + \frac{\pi}{2}$.

Ответ: $y = -2x + \frac{\pi}{2}$

в) $f(x) = \sin 2x, a = \frac{\pi}{4}$

1. Находим значение функции: $f(\frac{\pi}{4}) = \sin(\frac{\pi}{2}) = 1$.
2. Находим производную: $f'(x) = 2 \cos 2x$.
3. Вычисляем значение производной: $f'(\frac{\pi}{4}) = 2 \cos(\frac{\pi}{2}) = 0$.
4. Составляем уравнение: $y = 1 + 0(x - \frac{\pi}{4}) \Rightarrow y = 1$.

Ответ: $y = 1$

г) $f(x) = 2 \operatorname{tg} \frac{x}{3}, a = 0$

1. Находим значение функции: $f(0) = 2 \operatorname{tg} 0 = 0$.
2. Находим производную: $f'(x) = 2 \cdot \frac{1}{\cos^2(x/3)} \cdot \frac{1}{3} = \frac{2}{3 \cos^2(x/3)}$.
3. Вычисляем значение производной: $f'(0) = \frac{2}{3 \cos^2 0} = \frac{2}{3 \cdot 1} = \frac{2}{3}$.
4. Составляем уравнение: $y = 0 + \frac{2}{3}(x - 0) \Rightarrow y = \frac{2}{3}x$.

Ответ: $y = \frac{2}{3}x$