Номер 43.22, страница 255, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

Составьте уравнение касательной к графику функции $y = f(x)$ в точке с абсциссой $x = a$:

43.22. а) $f(x) = x^2, a = 3;$

б) $f(x) = 2 - x - x^3, a = 0;$

в) $f(x) = x^3, a = 1;$

г) $f(x) = x^2 - 3x + 5, a = -1.$

Для составления уравнения касательной к графику функции $y = f(x)$ в точке с абсциссой $x = a$ используется общая формула:
$y = f(a) + f'(a)(x - a)$
где $f(a)$ — значение функции в точке касания, а $f'(a)$ — значение производной в этой же точке, которое равно угловому коэффициенту касательной.

Для функции $f(x) = x^2$ и точки $a = 3$.
1. Найдем значение функции в точке касания:
$f(a) = f(3) = 3^2 = 9$.
2. Найдем производную функции:
$f'(x) = (x^2)' = 2x$.
3. Найдем значение производной в точке касания:
$f'(a) = f'(3) = 2 \cdot 3 = 6$.
4. Подставим найденные значения $f(a)=9$, $f'(a)=6$ и $a=3$ в уравнение касательной:
$y = 9 + 6(x - 3)$
$y = 9 + 6x - 18$
$y = 6x - 9$
Ответ: $y = 6x - 9$

Для функции $f(x) = 2 - x - x^3$ и точки $a = 0$.
1. Найдем значение функции в точке касания:
$f(a) = f(0) = 2 - 0 - 0^3 = 2$.
2. Найдем производную функции:
$f'(x) = (2 - x - x^3)' = -1 - 3x^2$.
3. Найдем значение производной в точке касания:
$f'(a) = f'(0) = -1 - 3 \cdot 0^2 = -1$.
4. Подставим найденные значения $f(a)=2$, $f'(a)=-1$ и $a=0$ в уравнение касательной:
$y = 2 + (-1)(x - 0)$
$y = 2 - x$
Ответ: $y = -x + 2$

Для функции $f(x) = x^3$ и точки $a = 1$.
1. Найдем значение функции в точке касания:
$f(a) = f(1) = 1^3 = 1$.
2. Найдем производную функции:
$f'(x) = (x^3)' = 3x^2$.
3. Найдем значение производной в точке касания:
$f'(a) = f'(1) = 3 \cdot 1^2 = 3$.
4. Подставим найденные значения $f(a)=1$, $f'(a)=3$ и $a=1$ в уравнение касательной:
$y = 1 + 3(x - 1)$
$y = 1 + 3x - 3$
$y = 3x - 2$
Ответ: $y = 3x - 2$

Для функции $f(x) = x^2 - 3x + 5$ и точки $a = -1$.
1. Найдем значение функции в точке касания:
$f(a) = f(-1) = (-1)^2 - 3(-1) + 5 = 1 + 3 + 5 = 9$.
2. Найдем производную функции:
$f'(x) = (x^2 - 3x + 5)' = 2x - 3$.
3. Найдем значение производной в точке касания:
$f'(a) = f'(-1) = 2(-1) - 3 = -2 - 3 = -5$.
4. Подставим найденные значения $f(a)=9$, $f'(a)=-5$ и $a=-1$ в уравнение касательной:
$y = 9 + (-5)(x - (-1))$
$y = 9 - 5(x + 1)$
$y = 9 - 5x - 5$
$y = -5x + 4$
Ответ: $y = -5x + 4$